Baza dimensiune a spațiului vectorial și
5.2. Dimensiunea și bazele de spații vectoriale
Un spațiu vectorial se numește n-dimensional. în cazul în care pot găsi n vectori liniar independenți, dar mai mult n liniar vectori independenți care nu conține.
Dimensiunea spațiului - numărul maxim conținute în acesta liniar vectori independenți.
Dimensiunea spațiului va fi notată cu dim.
De exemplu, o dimensiune plană a tuturor vectorilor este egal cu 2, dimensiunea spațială a vectorilor este egal cu 3.
Un spațiu care are o dimensiune finită, numită finită. Spațiul în care puteți găsi orice număr de vectori liniar independenți se numește infinit.
Un set de n vectori liniar independenți în n - dimensional spațiu vectorial se numește baza ei.
Teorema5.1.Kazhdy vector n liniar - dimensional spațiu poate fi reprezentat, și mai mult decât atât, singura cale ca o combinație liniară de vectori de bază.
Dovada. Să - bază și spațiu arbitrar. Deoarece orice n + 1 vectori liniar dependente, dependente, în particular, vectorii. și anume Nu sunt simultan egale cu zero numere. astfel încât
În același timp. în caz contrar, cel puțin unul dintre numerele ar fi diferit de zero, iar vectorul ar fi dependentă liniar. Prin urmare,
Punerea. Vom avea.
Această reprezentare prin numai. Este dovedit de contradicție. Numerele se numesc coordonatele vectorului în baza.
Teorema5.2.Esli - liniar vectori independenți ai oricărui vector exprimat în termeni de liniar. acești vectori formează o bază.
Dovada. Vectorii. prin ipoteză, sunt liniar independente. Ne arată că, în spațiul de nu mai mult de n vectori liniar independenți. Am ales un vector arbitrar. . Prin ipoteză, fiecare dintre ele pot fi exprimate în termeni de liniar.
Deoarece numărul de rânduri din această matrice este egal cu n. atunci rangul ei nu este mai mare decât n. și, prin urmare, printre coloanele sale nu are mai mult de n liniar independente. Dar, așa cum m> n. cele m coloane ale acestei matrice sunt liniar dependente. Vectorii În consecință, liniar dependente. Astfel, spațiul n - dimensional și - baza sa.