Așa cum este definit și care caracterizează dispersia este o variabilă aleatoare x cheie listă discretă

În practică, este adesea necesar să se estimeze imprastiere valori posibile ale variabilei aleatoare în jurul valorii sale medii. Prin urmare, valoarea kvadrataotkloneniya medie calculată, care se numește dispersie. Dispersia (împrăștiere) a unei variabile aleatoare discrete numită speranța unui pătrat abateri de variabile aleatoare de așteptare sale: D (X) = M [XM (X)] 2. O formulă convenabilă: D (X) = E (X2) -R 2 (X).

1 0. dispersie constantă C este zero: D (C) = 0.

2 0. Un factor constant poate Vyno-Sit pentru semn de dispersie, ridicând-o la pătrat:

3 0. Suma de dispersie a două variabile aleatoare independente este suma variațiilor acestor valori: D (X + Y) = D (X) + D (Y).

4 diferență 0. dispersie între două variabile aleatoare independente este egală cu suma dispersiilor lor: D (X-Y) = D (X) + D (Y).

5 0 plus (scăderea) constantă la o variabilă aleatoare nu schimbă dispersia. D (X + C) = D (X).

59. Arată că dacă X - o variabilă aleatoare discretă, atunci D (X) = M (X 2) -M2 (X).

Andocarea: Expectation M (X) este constantă, prin urmare, 2M (X) și M 2 (X) ca și constante. D (X) = E (X2) 2 -R (X) = E [XE (X)] 2 = E [X 2 -2XE (X) + E 2 (X)] = E (X2) -2E (X) E (X) + E 2 (X) = E (X2) -2E 2 (X) + E 2 (X) = E (X2) 2 -R (X). și anume D (X) = E (X2) 2 -R (X).

60. Fie X - o variabilă aleatoare discretă. Dacă inegalitatea M (X 2)<(M(X ))2. Ответ обоснуйте.

Prin definiție, dispersia D (X) = E [X-E (X)] 2, în timp ce

Astfel, pentru orice s.v.H D (X) = E (X2) - E2 (X), D (X) ≥0. Prin urmare, pentru orice rv X este întotdeauna inegalitatea E (X2) ≥E 2 (X). Prin urmare, inegalitatea M (X 2)<[E(X)] 2 выполняться не может.

61. Arată că dacă X și Y - sunt variabile aleatoare independente, atunci D [XY] = D [X] # 8901; D [Y] + E [X] 2 D [Y] + E [Y] 2 D [X ].

D (XY) = (E (XY) 2) - [E (XY)] 2 = E (X 2 Y 2) - (E (x)) 2 (E (Y)) 2 = E (X2) E (y2) 2 -R (X) E 2 (Y) = (D (X) + [E (X)] 2) (D (Y) + [E (Y)] 2) - E 2 (X) 2 E (Y) = D (X) D (Y) + E (Y) 2 D (X) + E (X) 2 D (Y). QED

62. Dovedește că o lege următoarele distribuție binomială. valoare cu probabilitatea p de succes în fiecare dintre studiile n independente, egalitatea:

63. Fie X - variabilă aleatoare discretă distribuită prin distribuția geometrică cu parametrul p. Demonstrati ca D (X) =.

67. Astfel cum este definit de covarianță Cov (X, Y) ale variabilelor aleatoare X, Y? Dovedeste că D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2Cov (X, Y).

1.Kovariatsiey COV (X, Y) ale variabilelor aleatoare X, Y este o așteptare matematică a abaterilor de produs ale X și Y.

2. Fie X și Y - două variabile aleatoare. Să presupunem, Z = X + Y Prin teorema adăugarea așteptărilor pe care le avem: M (Z) = E (X) + E (Y). Scăzând această ecuație din cele de mai sus, vom obține :. unde denotă, ca și mai înainte, deviația X. Constatăm dispersia Prin urmare = X + Y. Avem D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2E (), unde M () = cov (X, Y).

Formula ia următoarea formă: D (X + Y) = D (X) + D (Y) = 2Cov (X, Y)

64. Identificarea principalelor proprietăți ale covarianța cov (X, Y) ale variabilelor aleatoare X și Y. Demonstrati că Cov (X, Y) = E (XY) -E (X) E (Y)

Covarianță (punct de corelare) cov (X. Y) variabile aleatoare X. Y-numit fabrică mat speranța matematică X și Y abateri

Covarianță are următoarele proprietăți:

4. Dacă X și Y sunt independente, atunci Cov (X. Y) = 0.

Dacă Cov (X. Y) = 0, atunci variabilele aleatoare X și Y sunt numite necorelate.

65. După cum este stabilit prin coeficientul de corelație # 961; (X, Y) ale variabilelor aleatoare X și Y. Care sunt proprietățile de bază ale coeficientului de corelație? Ce zici de X și Y. Dacă # 1472, # 961; (X, Y) # 1472; = 1?

Coeficientul de corelație a variabilelor aleatoare X și Y este definit prin formula # 961; (X, Y) = cov (X, Y) / (# 963; (X) * # 963; (Y)), unde cov (X, Y) - covarianța X și Y, și # 963; (X) - deviația standard a X, # 963; (Y) - deviația standard a Y.

2) # 1472, # 961; (X, Y) # 1472; <=1

3) # 1472, # 961; (X, Y) # 1472; = 1 este echivalent cu existența constantelor a, b astfel încât ecuația Y = a + bX satisfăcut cu o singură probabilitate.

70. Care este și cov furnizat variabile aleatoare independente. Ce se poate spune despre. în cazul în care. în cazul în care - unele numere. Justificați răspunsul.

În cazul în care X și Y sunt variabile independente aleatoare, apoi cov (X, Y) = E (X, Y) - E (X) E (Y) = E (X) E (Y) - E (X) E (Y) = 0

Dacă (# 946; ≠ 0),

Andocarea: Cov (X, Y) = cov (X, # 945; + # 946; X) = E (X (# 945 + # 946; X)) - E (X) E (# 945 + # 946; X) = E (X # 945 + # 946; X 2) - E (X) (E (# 945;) + E (# 946; X)) = E (X # 945;) + E (# 946; X 2) - # 945; E (X) - # 946; (E (X)) = 2 # 946; (E (X2) - (E (X)) 2) = # 946; D (X)

66. Definiți o variabilă aleatoare continuă. Ceea ce, în acest caz, este posibil. în cazul în care - un anumit număr? În cazul în care ecuația pentru o variabilă aleatoare continuă. că evenimentul nu vine?

Aleatoare X este variabilă continuă. în cazul în care ei F (X), funcția de distribuție este continuă în fiecare punct al X. P (X = a), în cazul în care un - un anumit număr, există o posibilitate și fiecare valoare separată. P (X = a) = 0; Th Ver fiecare valoare separată este zero. Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă că evenimentul X = A este imposibil. Ca urmare a cazului de testare. Valoarea este necesară pentru a primi una dintre valorile posibile; În special, această valoare poate fi egală cu o.

67. Ceea ce este declarat a fi de distribuție absolut continuă? Care este densitatea distribuției și care este legătura sa cu funcția de distribuție? Pot variabile aleatoare absolut continuă să aibă o funcție de densitate friabil. Justificați răspunsul.

Aleatoare X variabilă se numește absolut continuă dacă există o funcție non-negativă f (x), numită o densitate de distribuție astfel încât o

Pentru F (x) Distribuția funcției au

Distribuția densității are următoarele proprietăți:

2. (condiție de normalizare).

3. continuitate punct f (x).

Funcția de așteptare este continuă PU, pentru integrarea produsului funcțiilor de densitate și distribuție:

Arbitrare variabilă aleatoare X este numit concentrat pe intervalul [a, b], în cazul în care probabilitatea unui rezultat pozitiv în intervalul X este egal cu 1.

Densitatea de distribuție este absolut o variabilă aleatoare continuă, axat pe intervalul [a, b], 0 este egal cu [a, b].

Funcția de distribuție F (x) este variabilă aleatoare absolut continuă, axat pe intervalul [a, b], poate fi reprezentat ca