Activitatea de laborator №10 studiu al legii distribuției normale pe modelul mecanic

1. Pentru a vizualiza normală (gaussiană) și distribuția Maxwell a variabilelor aleatoare.

2. Citiți distribuția normală în modelul mecanic și de a determina variația și măsurarea de precizie.

introducere teoretică

Evenimente aleatoare sunt descrise de teoria probabilităților și sunt supuse legilor statistice, ne permit să găsim probabilitatea unui eveniment dintr-o serie de evenimente aleatoare, valoarea medie a unei variabile aleatoare, abaterea cea mai probabilă de media, etc. Toate aceste caracteristici sunt determinate de o lege de distribuție variabilă aleatoare - adică, dependența probabilității de apariție a unei valori particulară a unei variabile aleatoare a valorii valorii.

Să - o variabilă discretă aleatoare care poate lua valori ale lui: x1. x2. ... xn. ... xs. Aceste valori corespund probabilităților: p1, p2. ... Pm. ... ps. De exemplu, Pm este probabilitatea ca cantitatea în cauză va lua valoarea xm. Suma tuturor probabilităților (p1 + p2 + ... + PS) este probabilitatea ca testul va fi vândut orice (indiferent de ce fel) din valorile x1. x2. ..., xs. Această probabilitate este egală cu unu.

.

Setare probabilitate p1. p2. ... ps conține informații complete despre variabila aleatoare.

Cu toate acestea, în multe cazuri, în practică, cunoașterea probabilității nu este necesară. cele două cele mai importante caracteristici ale unei variabile aleatoare este suficient să se știe - media și variația acesteia.

Așteptarea este valoarea medie a variabilei aleatoare. Medierea este realizată pe un număr mare de teste. Să facă referire la astfel de mediu se vor utiliza paranteze unghiulare

.

Valoarea medie a variabilei aleatoare este o sumă de produse de valori ale valorilor de probabilitate corespunzătoare:

sau, pentru a utiliza semnul însumării

În plus față de valoarea medie, este de asemenea important să știi cât de mult valoarea cantității deviază de la valoarea medie, sau, cu alte cuvinte, cât de larg răspândit al variabilei aleatoare.

Valoarea medie a abaterii medii (valoarea medie a diferenței

) Nu este adecvat, deoarece este zero. De fapt,

.

Prin urmare, având în vedere valoarea medie a nu abateri de la medie, și pătratul abaterii, adică:

Aceasta este variația variabilei aleatoare. care este notat cu

.

Rădăcina pătrată a varianței

abaterea pătratică sau standard nazyvayutsrednim a variabilei aleatoare. Este ușor de a verifica dacă:

Astfel, caracteristicile variabile aleatoare - Așteptarea și varianța - pentru variabilele discrete sunt exprimate prin suma distribuției de probabilitate (cu formula (2) - (4)).

Pentru variabile continue aleatorii în locul sumelor utilizate Integrale, ci mai degrabă distribuția de probabilitate a distribuției densității de probabilitate:

unde f (x) - densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare.

Să ne explice ce se înțelege printr-o densitate de probabilitate. Să fie un set de un număr mare de N valori ale variabilei aleatoare. Exemplu - un set de N măsurători ale rezultatelor unei cantități fizice, ceea ce permite determinarea erorilor aleatoare. Exemplu de Fizica Moleculara - un set de valori de proiecție în orice viteză axă a particulelor de gaz. Să variabila aleatoare valorile Dn se află în intervalul de la x la x + dx. Amploarea dN proporțională cu numărul lățime fantă dx N. și Legea (funcția) sau distribuției densității de probabilitate a variabilei aleatoare este o funcție:

Pentru a explica semnificația fizică a funcției de distribuție set dx = 1, adică considerăm intervalul unității valorile variabilei aleatoare x la x + 1. In aceasta formula (7) este simplificată și ia forma:

Prin urmare, funcția de distribuție indică ce procent din numărul total de valori ale variabilei aleatoare este într-un interval unitate de la x la x + 1.

Cu alte cuvinte, funcția de distribuție indică probabilitatea ca variabila aleatoare luată valoarea aleatorie se încadrează în intervalul de unitate de la x la x + 1.

În multe cazuri, descrierea variabilelor aleatoare este doar așa-numita distribuția normală (distribuție Gauss). Această distribuție are loc în cazul în care valoarea aleatoare depinde de mai mulți factori care pot contribui cu egală probabilitate abateri pozitive și negative. Un exemplu este distribuția erorilor aleatoare în măsurarea orice dimensiune fizică sau distribuirea proiecțiilor pe axa de coordonate de mișcare a vitezei particulei gazului. Se poate demonstra că legea de distribuție normală (legea lui Gauss) are forma:

unde x - o valoare arbitrară a variabilei aleatoare;

- valoarea medie (așteptare); σ 2 - varianța (abaterea medie pătrată a valorii aleatoare din valoarea medie). Figura 1 prezintă graficele de distribuție Gaussian pentru diferite valori ale iσ 2.

Figura 1 - Programează o distribuție Gauss.

1 -

= 0; 2 -, znacheniyaσ 2 curbele 1 și 2 sunt identice; 3 - = 0, 2 znachenieσ mai mare decât pentru curbele 1 și 2.

Distribuția normală este caracterizată ca o măsură de precizie

. x = funcția de distribuție a maxim:

.

valoare

, revers puțin tochnostih. aceasta este o abatere de la x , kotoromf când (x) este mai mică decât fmax în ori (Figura1).

Astfel, distribuția normală este descrisă de densitatea de probabilitate a variabilelor aleatoare continue, variația valorilor care este cauzată de o varietate de factori care acționează aproximativ egal și independent unul de altul. Valoarea maximă a distribuției (figura 1), se ajunge la o valoare a lui x. Egalitatea de așteptare

. Curba care descrie distribuția considerată (curba Gauss), are o formă de clopot, este simetrică în raport cu verticala. Aria de sub curba avută în vedere pentru intervalul întreg infinit, egală cu integrala. Substituind funcția (9), putem vedea că această zonă este egală cu unu. Acest lucru este în concordanță cu faptul că probabilitatea ca un anumit eveniment este egal cu unu.

Impartim aria de sub curba Gauss (Figura 2) linii verticale în porții individuale. În primul rând, ia în considerare porțiunea corespunzătoare diferenței.

Putem vedea că

. Aceasta înseamnă, că probabilitatea de x în intervalul de valorilaegală cu 0,683. În plus, se poate demonstra că probabilitatea de a cădea în intervalul de lalaegal cu 0,954, iar în intervalul de lalaegală cu 0,997.

T

primar, valorile variabilei aleatoare continue, care nu se supune distribuția normală, probabilitatea de a rateaza intervale de 0.997. Această probabilitate este aproape egal cu unu. Prin urmare, în practică, se poate presupune că practic toate valorile considerate a variabilei aleatoare sunt în extinderea intervalului 3ó pe dreapta și stânga 3σ. Aceasta este „regula de trei sigma“.

Risunok2 - Regula de „trei sigma“

După cum sa menționat mai sus, proiecția particulelor vitezei gazului vx pe axa x este o variabilă aleatoare cu o lege de distribuție Gauss, primind în acest caz, sub forma:

unde m - masa particulei; k - este constanta Boltzmann; T - temperatura absolută. Din comparația (9) și (10) rezultă că viteza medie a proiecției

, și variația distribuției.

Spre deosebire de proiecția vitezei care primesc ambele valori negative și pozitive, valoarea numerică (modulul) a vitezei particulelor nu poate fi negativ. Modul de gaz de viteză a particulelor - de asemenea, o variabilă aleatoare, dar nu este descris de un Gaussian, dar așa-numita maxwelliana funcția de distribuție de particule de gaz skorostyamF (v), asociată cu viteza Gaussian proiecțiilor de distribuție formula:

Din graficul funcției F (v) (Figura 3) arată că cea mai mare viteza particulei de gaz este aproape de așa-numita VB viteză cea mai probabilă. Proporția de particule având o foarte mică (v → 0) sau o viteză foarte mare (v → ∞), este mică.