Variația variabilei aleatoare și proprietățile sale

Acasă | Despre noi | feedback-ul

În practică, este adesea necesar să se estimeze împrăștiere variabilă aleatoare în jurul valorii sale medii. Utilizare ca o abatere caracteristică a variabilei aleatoare de la așteptările sale nu este posibilă.

Teorema. Pentru orice așteptare a unei variabile aleatoare abaterea este zero, adică

.

Dovada. Într-adevăr, având în vedere că - o constantă, avem:

Această caracteristică a gradului de dispersie este varianța unei variabile aleatoare.

Dispersia (dispersie) a unei variabile aleatoare se numește așteptarea pătratul abaterii acestei valori de așteptare matematice:

.distribuție elichina de corelare

Este evident că variația variabilei aleatoare este constantă, adică Este o caracteristică numerică de o asemenea magnitudine.

În cazul în care o variabilă aleatoare are o lege de distribuție. atunci.

Precum și pentru așteptările, proprietățile de dispersie pot fi formulate sub forma de teoreme.

Teorema. valoare constantă Dispersia este zero.

Dovada. În cazul în care - o constantă, atunci și, prin urmare. Acest rezultat este evident, deoarece valoarea constantă reprezentată printr-un punct de pe axa reală și nu are nici o imprastiere.

Teorema. Un factor constant poate fi luat ca un semn de dispersie, ridicând-o în același timp, un pătrat.

Dovada. Dacă - un factor constant, și - o variabilă aleatoare, apoi - de asemenea, o variabilă aleatoare a cărei așteptare. Aplicând definiția unei dispersii variabile aleatoare, obținem:

.

Teorema. Variația variabilei aleatoare egală cu diferența dintre speranța de pătrat sale și pătratul așteptarea cantității în sine :.

Dovada. Folosind teorema de bază a speranța matematică poate fi scris:

Teorema. Variația sumei de două variabile aleatoare independente este egală cu suma variațiilor acestor valori:

.

Dovada. Deoarece. Prin urmare:

,

în cazul în care - așa-numitele valori de timp și de corelare. În cazul în care variabilele aleatoare și independente, atunci variabilele aleatoare u. în mod evident, de asemenea, independent, astfel:

Corolar 1. Variația sumei de mai multe variabile aleatoare independente reciproc este egal cu suma variațiilor acestor valori.

Corolarul 2. În cazul în care - o constantă, atunci.

Corolar diferență 3. Dispersia între două variabile aleatoare independente este suma variațiilor acestor variabile, adică și în cazul în care variabilele aleatoare sunt independente, atunci.

.

Așteptarea și variația variabilei aleatoare sunt principalele sale caracteristici numerice.