Teorema (modulul produsului vectorial)

Modul produs vectorial al două vektorovimozhet calculat prin formula în care este unghiul dintre vektoramii. Dacă vectorii nu sunt coliniari, atunci modulul produsului vectorial este pătrat paralelogramului format pe vektorahi.

Dovada. Dacă vectorii sunt coliniari, produsul lor cruce este egal cu vectorul de zero, vectorul zero și modulul este zero. Deoarece unghiul dintre vectorii coliniare este 0 sau ceva.

Astfel, formula de a fi dovedită valabilă pentru vectori coliniare.

Să presupunem că vectorii și sunt coliniari.

Denote cosinusului direcția vectorului în ambele Deoarece, prin definiție, este direcția cosinusului vectorului unitate componentelor vectorului, pentru ei, formula exprimată în termeni de componente vectoriale ale unității vector și cosinus direcție cu formulele

In mod similar, denota cosinusului direcția vectorului ca au, de asemenea, formula în continuare, următoarele ecuații dețin pentru componentele unui

Cosinusul unghiului dintre vectorii și se calculează ca produsul scalar dintre vectorii unitare cu formula

Vom găsi mai jos modulul pătrat al produsului vectorial:

Rezultă, care completează dovada prima parte a teoremei.

În cazul în care vectorii nu coliniare, atunci ei pot construi un paralelogram. Zona oricărui paralelogramului este calculat ca produsul dintre lungimea bazei paralelogramului la înălțimea sa. În cazul nostru, lungimea bazei este egală, iar înălțimea este egală. Astfel, teorema este complet demonstrată.

produs Opredelenie.Vektorno-scalar a trei sau mixte vectori comandate în spațiul real se numește numărul găsit de regulă, în cazul în care primii doi vectori tras produs vector, care este apoi înmulțit cu un al treilea vector scalar.

Având în vedere definiția vectorului și produsul triplu valoarea produsului scalar este calculată prin formula

Dacă vectorii sunt coplanari, unul dintre vectorii poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalte două. În acest caz, unul dintre rândurile determinantul produsului mixt va fi o combinație liniară a celorlalte două rânduri. După cum se știe, valoarea determinantului este zero.

Toate subiectele acestei secțiuni:

Spațiul liniar
Multitudinea de elemente de orice natură sau numit spațiu vectorial liniar, și elementele sale

Set de funcții numerice.
Luați în considerare setul de funcții numerice definite pe un interval. Orice două funcții și

Teorema (existența și unicitatea elementelor de diferență).
Pentru oricare doi vectori ai unui spațiu liniar, există un vector unic

Teorema (privind condițiile de dispariție produs unui vector).
Prin produsul vectorial al numărului egal cu vectorul zero dacă și numai dacă numărul este zero sau vector este vectorul zero. numărul Dokazatelstvo.Pust

Determinantul matricei și proprietățile lor
Detectoarele sunt introduse numai pentru o matrice pătratică ca o regulă, formând valoarea determinantă a elementelor matricei. În cazul în care elementele matricei, determinantul va

Teorema (pe extinderea unui determinant de-a lungul oricărui rând sau coloană).
Determinantul de ordin egal cu suma produselor elementelor din oricare rând sau o coloană sale la algebrice corespunzătoare

Dovada.
Scriem formula pentru extinderea determinant al primului rând. Forma acestei formule nu este peste

Teorema (pe determinant al unui produs din două matrici).
Determinantul produsul a două matrici este produsul determinanților matricile factorilor. teoremă

Sisteme de ecuații liniare
Sistemul general de ecuații algebrice liniare

Teorema (existenta si unicitatea matricei inverse).
Orice matrice pătrată are o matrice inversă unic calculat prin formula. dacă și numai dacă, COG

Dovada.
Să ne dovedesc că condiție. Este o condiție suficientă pentru existența matricei inverse. acasă

Teorema lui Cramer.
Dacă sistemul de ecuații într-o matrice pătratică determinantul coeficienților nu este egal cu zero, sistemul are o soluție unică, care este fie cu formula sposobompo matrice

Dovada.
În conformitate cu teorema privind existența și unicitatea matricei inverse pentru matricea nesingulară Coeficienți sistemul nostru există o matrice unică inversă

Teorema (vectori liniare coordonate proprietăți).
În plus, oricare doi vectori de coordonatele de bază în staul și prin înmulțirea fiecărui vector cu orice număr de coordonate sunt multiplicate cu acest număr. evidență

Dovada.
Prin definiție, o bază în sensul că orice rând sau coloană a matricei poate fi reprezentat ca o combinație liniară rând bază sau pe bază de coloană, în care un mod unic. Toate pa

Dovada.
Vom arăta suficiența a doua investigație. Când rândurile matricei sunt liniar dependente, atunci vectorii dependenți de sistem proprietate unul dintre rânduri este o combinație liniară de restul

Teorema (pe aducerea la pasul matricei).
Orice matrice poate determina pasul matricei prin efectuarea unui număr finit de transformări elementare. Dovedim teorema prin căutarea numărul structural finit de posibile

Teorema (matricea rang viteză).
matrice în trepte Locul este egal cu numărul de rânduri sale nenule. Dokazatelstvo.Nenulevye, rândurile decalate sunt liniar independente, care poate fi demonstrat a face pieptene liniar

Teorema (pe tranziții echivalente).
Orice număr finit de transformări elementare ale sistemului traduce într-un sistem care este echivalent cu sistemul original. Demonstrația rezultă direct din op

Dovada.
Rangul matricei coeficienților prin definiție întotdeauna mai mic sau egal cu numărul de ecuații și numărul de necunoscute ref

Investigarea și soluții de sisteme omogene de ecuații.
Sistemul Omogene este întotdeauna consecvent, deoarece are o soluție de zero (banal)

Dovada.
Neobhodimost.Pust este un spațiu finit de dimensiuni

Teorema (pe forma soluția generală a sistemului neomogen de ecuații).
Soluția sistemului neomogen de ecuații pot fi întotdeauna reprezentate ca suma soluției generale a corespunzătoare

Vector algebră
Sub algebra vector înțeleasă în general secțiune algebra liniară studierea vectorilor geometrice în plan și spațiul real. În matematică și aplicațiile sale întâlni dec

spațiu euclidian.
produsul Opredelenie.Skalyarnym oricăror doi vectori ai unui spațiu liniar se numește o regulă că fiecare pereche de vectori comandat

Dovada.
Să există un sistem ortogonal de vectori nenuli în spațiu euclidian. Să presupunem că dl

Teorema (baza proprietăților de bază ortonormate).
1. Coordonatele unui vector arbitrar într-o bază ortonormală sunt produse scalare ale vectorului corespunzător vectorilor această bază. 2. Produsul scalar a doi

Definiția.
bază Canonical geometriei tridimensionale în spațiul vectorilor numit vector

geometrie liniară.
Opredelenie.Pust există unele vector nenul și