Teorema de adăugare a probabilităților de evenimente incompatibile

Acasă | Despre noi | feedback-ul

Suma A + B a două evenimente A și B este evenimentul care constă în apariția evenimentului A. sau în caz. sau ambele aceste evenimente. Pe de altă parte, suma A + B a două evenimente A și B este evenimentul care constă în apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

În special, în cazul în care două evenimente A și B - sunt incompatibile, atunci A + B - un eveniment care constă în apariția unuia dintre aceste evenimente, indiferent de ce.

suma mai multor evenimente numit evenimentul, care este apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

Lăsați evenimentele A și B - sunt incompatibile, iar probabilitățile acestor evenimente sunt cunoscute. Cum de a găsi probabilitatea ca un eveniment A are loc. În orice caz?

Răspunsul la această întrebare este dat de teorema de adăugare a probabilităților de evenimente care se exclud reciproc.

Teorema. Probabilitatea de apariție a unuia dintre cele două evenimente care se exclud reciproc este suma probabilităților acestor evenimente:

Dovada. Vom introduce notația: n - numărul total de posibile rezultate elementare ale testului; m1 - numărul de rezultate favorabile A .sobytiyu; m2 - numărul de rezultate favorabile la eveniment în.

Numărul de rezultate elementare favorabile ofensator sau un eveniment A. În orice caz. egală cu m1 + m2. Prin urmare,

Corolar. Probabilitatea de apariție a unuia dintre mai multe evenimente care se exclud reciproc, indiferent de ceea ce este suma probabilităților acestor evenimente:

Exemplu. O urnă de bile 30: 10 Red, S albastru I 15 alb. Găsiți probabilitatea de culoarea mingea.

Decizie. Apariția culorii mingii înseamnă aspectul exterior, fie o bilă roșie sau albastră. Probabilitatea de o minge roșie (evenimentul A)

Probabilitatea de minge albastră (evenimentul B)

Evenimentele A și B se exclud reciproc (o minge de culoare aspect elimină aspectul unei sfere de culoare diferită), cu toate acestea se aplică teorema plus.

La polul opus se numește singurele două evenimente posibile, formând un grup complet. Dacă una dintre cele două evenimente opuse indicate de A. celălalt poate fi desemnat.

Exemplu. Lovit și dor cu aruncare la poarta - eveniment opus. Dacă A - lovit, apoi - un dor.

Teorema. Suma probabilităților de evenimente complementare este egală cu una din urmatoarele:

Notă 1. În cazul în care probabilitatea de una dintre cele două evenimente opuse se notează cu p. atunci probabilitatea unui alt eveniment este notat cu q. Astfel, în virtutea teoremei precedente, p + q = 1

Exemplu. Probabilitatea ca o zi ploioasă este p = 0,7. Găsiți probabilitatea ca ziua să fie clar.

Decizie. Evenimente "zi ploioasă" și "zi clar" - opusul, astfel încât probabilitatea q necesar = 1 - p = 1 - = 0.7 la 0.3.

Nota 2. În rezolvarea problemelor de a găsi probabilitatea unui eveniment A este adesea avantajos să se calculeze mai întâi probabilitatea evenimentului. și apoi găsi formula de probabilitate necesară

Exemplu. În caseta sunt n bucăți de care m standardul. Găsiți probabilitatea ca printre k piese extrase aleatoriu au cel puțin un standard de.

Decizie. Evenimente „printre părțile extrase au cel puțin un standard“ și „nu există nici un standard printre piese extrase“ -protivopolozhnye. Vom nota cu A primul eveniment. iar al doilea - după.

S-au găsit. Numărul total de moduri de a extrage k părți N piese, la fel. Numărul de piese non-standard este egal cu n - m; acest număr de piese poate fi o modalitate de a extrage piese personalizate k. Prin urmare, probabilitatea chto_sredi extras piese k nu standard de unul, este.

Produsul a două evenimente A și B se numesc eveniment AB. care constă într-un aspect comun (combinație) acestor evenimente. De exemplu, dacă A - detaliu util, B - Detaliu pictat, atunci AB - parte este potrivit și vopsit.

Produsul de mai multe evenimente se numește un eveniment, care constă în co-apariția acestor evenimente.

De exemplu, în cazul în care A, B, C - aspectul „Emblem“, respectiv, în primul, al doilea și al treilea aruncă monede, ABC - pierdere „Stemei“ în toate cele trei teste.

Deseori calculat probabilitatea unui eveniment în condiția suplimentară că evenimentul a avut loc A.

Probabilitatea condiționată PA (B) se numește probabilitatea evenimentului B. calculată pe ipoteza că evenimentul A a avut loc deja.

Exemplu. O urnă 3 alb și 3 bile negre. Dintr-o urnă eliminat de două ori pe o minge, nu-i aduce înapoi. Găsiți probabilitatea unei mingi albe în al doilea test de (eveniment B), în cazul în care primul test a fost extras o bilă neagră (evenimentul A).

Decizie. După primele teste în urnă existau 5 bile, 3 dintre ele sunt albe. Căutând probabilității condiționale