sume integrale și integrale Definite

3. Definiția integralei
Și suma integrală

„Numai prin asumarea o unitate infinit de mică pentru monitorizarea - diferențială a istoriei, care este omogenă și dorința de oameni care ajung să se integreze arta (pentru a lua sumele acestor infinit mici), putem spera legile postignovenie de istorie.“

LN Tolstoi „Război și Pace“. Epilog.

calcul integral - o ramură a matematicii, aspectul care este asociat cu conceptul de integrala definită. Nu a fost calculul integral al sarcinilor pentru a determina domeniile și volume. Pentru a ilustra, ia în considerare următoarea problemă.

Să presupunem că avem nevoie pentru a calcula volumul de lămâie. Are o formă neregulată și aplicați o orice formulă cunoscută nu poate volum. Puteți găsi volumul prin cântărire și utilizarea de formule, dar densitatea de lămâie în diferite părți diferite. Puteți proceda după cum urmează. Se taie lamaie in felii subtiri. Fiecare felie poate fi aproximativ considerată ca un cilindru cu o înălțime mică. Volumul fiecărei astfel de cilindru ușor calculat folosind formula cunoscută. Adăugarea cantității de mici cilindri, obținem o valoare aproximativă a întregului volum al cilindrului. Apropierea va fi mai precise decât feliile mai subțiri am tăiat lămâie. Această metodă de calcul a volumelor oferite mai mult în III. BC Arhimede. Mintea ingenioasă a grecilor antici anticipat multe descoperiri secolele XVII-XVIII.

Apropo, conceptul de integrale nedeterminată a apărut mult mai târziu decât conceptul de integrala definită, în secolul al XVII-lea. Când Newton și Leibniz a fost stabilită o relație între calculul diferențial și integral.

3.1. Problema zona trapezului curbilinie.
Declarația problemei

Luați în considerare o problemă mai simplă decât calculul volumului de lamaie: zona de calcul a unui trapez curbilinie. Să o funcție continuă la intervalul, care se află deasupra graficului Ox axa. Curve și drepte și, precum Ox axei. restricționează anumită regiune a planului, numit trapezoid curbat (Fig. 3.1).

Aria trapezului curbiliniu poate fi calculată folosind dreptunghiuri subțiri. Leibniz credea că trapezului curbiliniu este format din dreptunghiuri infinit subțiri (fig. 3.2). Fiecare dreptunghi situată deasupra punctului x segment și are o înălțime și o lățime dx. Suprafața acestui dreptunghi. suprafața totală S este cantitatea de spațiu și este notat

Astfel, simbolul înseamnă suma alungirii apare și literelor S (lat. Summa al cuvântului).

Este clar că în calcularea pătrat este imposibil de a gestiona un număr finit de pași. Intuitiv, aceasta a simțit vechii Invatatii greci. Adevărat, ei au încercat să evite procesele fără sfârșit. Mai multe în V. BC filozof grec Zenon Eleysky a condus o serie de paradoxuri care apar atunci când, sau paradoxuri. Printre cele mai renumite este aporia „Ahile și țestoasa“, care are următorul conținut: Ahile, eroul războiului troian, nu va fi capabil de a prinde din urmă cu broasca țestoasă. De fapt, până când Ahile va rula prin distanța care îl separa de broască țestoasă, se va muta o anumită distanță în față. Apoi, când Ahile a depăși distanța încă o dată a apărut în fața lui, țestoasa va merge mai departe din nou, etc. Mulți oameni de știință au încercat să explice paradoxurile Zeno. Dar nici unul dintre explicațiile propuse nu pot fi luate în considerare pe deplin satisfăcătoare. Aparent, este imposibil de făcut, deoarece paradoxurile reflectă conflictul din viața reală între discrete și continuu, finit și infinit.

încercarea de a scăpa de Magnificent infinit în calculul măsurilor a fost metoda epuizării. proiectat de proeminent vechi Eudoxus filosof grec și folosit de către rodnic mulți dintre compatrioții săi, inclusiv Euclid și Arhimede. Esența metodei epuizării poate fi explicată prin exemplul următor. La calcularea ariei unui cerc este considerat inscris si circumscris poligoane regulate cu un număr tot mai mare de laturi, suprafața acestora se calculează, apoi luată ca aria unei zone de cerc limita aceste poligoane.

Este clar că grecii nu au putut face acest lucru, ei nu au știut teoria limite, cu atât mai mult au fost nici un fel de a evita cantități infinite. Arhimede, de exemplu, se procedează după cum urmează. El a petrecut mai multe geniu de calcul succesive detectată în nici un fel de răspuns, și apoi strict (prin inducție) a susținut că răspunsul a ghicit corect. În secolul al XVII-lea. numărul de probleme nerezolvate în acest fel a crescut enorm, dar atât de un singur algoritm creat și nu a fost. Pentru fiecare sarcină necesară o abordare individuală. Abia în anii 70 ai secolului al XVII-lea. Newton și Leibniz în mod independent, a descoperit că algoritmul a fost creat calcul integral.

Aparent, disputa a însemnat un mare poet român Bryusov, când a scris aceste rânduri:

Despre Leibniz, de salvie, creatorul cărților profetice!
Ai fost deasupra lumii, la fel ca profeții din vechime.
vârsta ta, minunându-te la tine, profeția nu este atinsă
Și lingușirea amestecat acuzații nebun.

3.2. integrantă Definite ca limita sumelor integrale

Să presupunem că funcția f (x) definită pe intervalul. Această lungime n este împărțită arbitrar nu neapărat egale, porțiuni: