Stabilitatea sistemelor neliniare de control automat - studopediya

Pentru a investiga stabilitatea neliniare ACS se aplică metoda funcțiilor Lyapunov, care de asemenea face posibil să se construiască o evaluare cantitativă a dinamicii fenomene tranzitorii. Pentru a rezolva problemele de stabilitate absolută NUAU aplicare a primit metoda largă de frecvență VM Popova.

1.5.1. Metoda funcțiilor Lyapunov. Un model matematic NUAU sub forma unor ecuații de mișcare perturbate, prezentate sub forma spațiului de stat:

în cazul în care - vectorul de stare - ieșire vector - vector de control. - funcții continue în domeniu.

Presupunând că știm managementul. obținem ecuația de mișcare perturbate de buclă închisă sistem automat de control neliniar

mișcare neperturbat a sistemului corespunde soluției trivială.

Dacă mișcarea neperturbată este asimptotic stabil, apoi în jurul originii există regiune atracție traiectorie cu proprietatea că toate traiectoriile cu valorile inițiale ale regiunii asimptotic de atracție sunt atrase de mișcarea neperturbată, adică la. În cazul în care domeniul de atractie este suficient de mică, există o rezistență mică. În cazul în care zona de atractie are o dimensiune finită (valoare constantă satisface cerințe predeterminate), atunci există o rezistență mare. În cazul în care atracția zonei este întreg spațiul. există o rezistență în general. Metoda funcției Liapunov permite nu numai să se stabilească existența unui anumit tip de stabilitate a mișcării neperturbat, dar, de asemenea, pentru a construi o atracție zonă de evaluare.

Pentru a investiga stabilitatea sistemelor neliniare, cea mai răspândită în urma modificării teorema lui Lyapunov privind stabilitatea asimptotică.

Teorema privind stabilitatea asimptotică. Sistem de mișcare neperturbat (1.29) este asimptotic stabil dacă există o funcție Liapunov. satisface inegalitățile

derivat din care, având în vedere ecuațiile perturbate de mișcare

unde - funcții continue-non în scădere, cum ar fi atunci când. . în cazul în care.

Aici - un derivat al funcției Lyapunov în virtutea ecuațiile de mișcare perturbate (1,29).

Atunci când în cerințele Teorema funcției Liapunov limită superioară cu siguranță pozitivă și infinit mici, și în special derivatul său este negativ.

Cel mai mare interes în studiul neliniar este SAU cazul stabilității exponențiale atunci când soluția de (1,29) satisfac următoarea estimare în

Teorema NNKrasovskii exponențială sistemului mișcării ustoychivosti.Nevozmuschennoe (1.29) este exponențial stabil în domeniu. în cazul în care există o funcție Liapunov care îndeplinește următoarele estimări:

Prezența proprietăților neliniare ale stabilității exponențială sistem asigură natura exponențială a regimului tranzitoriu, ceea ce este extrem de important pentru ACS.

Un loc aparte în diferite tipuri de stabilitate ACS are o stabilitate absolută.

Luați în considerare ecuațiile de mișcare perturbate SAU, care sunt date în forma următoare

în cazul în care. . . matrice constantă, - o coloană permanentă - linie constantă - constantă. Evaluate îndeplinește funcții continue

adică, aparține unui sector (fig. 1.30).

Stabilitatea absolută - stabilitatea asimptotică în mari a soluției zero a sistemului (1.33). . care cuprinde neliniaritate de tip (1.34) (aparținând sectorului).

Stabilitatea absolută soluție a problemei poate fi produsă cu ajutorul funcției Lyapunov unui tip special de „o formă pătratică, plus o integrală“ oferit AI Lurie și VK Postnikov

în cazul în care - o formă pătratică definită pozitiv.

Se calculează derivata funcției Lyapunov

care poate fi reprezentat ca

În cazul în care forma pătratică (1.36) este cu siguranta negativ, mișcarea neperturbat. asimptotic stabil.

Exemplul 1.3. Luați în considerare sistemul

stabilitate absolută condiții suficiente

1.5.2. Stabilitate absolută. Criteriul de frecvență Popov.

O neliniare SAU, structurală

circuit este prezentat în figura 1.31, unde funcția de transfer a părții liniare

neliniaritate staționare îndeplinește condițiile

Cazul 1. liniar parte stabil SAU, adică ecuaţia caracteristică

Ea are doar rădăcini cu piese reale negative:

Criteriul de sistem Popova.Zamknutaya este absolut stabil în clasa neliniarităților staționare continue care îndeplinesc condițiile (1,37), în cazul în care pentru unele reale și pentru toți. inegalitatea

Noi reprezentăm un vector complex sub formă de

în cazul în care. . Apoi, (1.39) ia forma

Valoarea practică a criteriului Popov este că acesta este o interpretare geometrică simplă. Pentru aceasta introducem răspunsul în frecvență convertit. a cărui parte reală coincide cu partea reală. și partea imaginară se caracterizează printr-un factor de „“:

Apoi, (1.40) ia forma

Notă anumite caracteristici particulare.

1º - chiar și funcția „“, iar curba nu este simetrică față de axa reală la schimbarea în interiorul. Când curbele și au un punct comun de pe axa reală pozitivă.

2 ° Când n-m 2, atunci când.

dacă n-m = 1, atunci,

în cazul în care - polinoamele grad mai mare în funcția de transfer.

3 ° Caracteristici intersectează axa reală în aceleași puncte, și pentru aceleași valori de frecvență. această caracteristică.

Prin înlocuirea inegalitatea (1.42) prin ecuația

Obținem în coordonatele. Ecuația tangentei la caracteristica. Linia trece printr-un punct de pe axa reală și are un coeficient unghiular. Curba se află în partea dreaptă a acestei linii.

Astfel, este posibil să se formuleze condiția geometrică stabilitatea absolută după cum urmează:

Starea de echilibru a unui sistem închis cu un singur neliniaritate staționar satisface (1.37) este absolut stabil dacă plane transformate caracteristicile de frecvență prin punctul în care se poate trage o linie dreaptă, astfel încât caracteristicile întregii laicilor la dreapta acestei linii (ris.1.32) cu un unghi de înclinare.

Zona definită prin alegerea parametrului. Aceasta depinde de proprietățile elementului neliniar:

- pentru caracteristici staționare evaluate continuu;

- pentru caracteristicile nestaționare continue și ambigue;

- pentru caracteristicile de releu „comutator ideal“ și „comutator cu zonă moartă.“

Notă. T ak ca o caracteristică de frecvență convertită trebuie să se intersecteze axa reală la punctul de dreapta. iar frecvența de răspuns inițial trebuie să traverseze, de asemenea, axa reală la dreapta acestui punct.

În figura 1.33, ilustrează cazul în care este îndeplinită condiția de Popov (a), (b), condiția nu poate fi satisfăcută pentru orice valoare a (c).

Un caz special. Pentru neliniară care conține un SAU releu ideale (Figura 1.34a) în care,

Condiții de stabilitate absolută în conformitate cu partea liniară stabilă ia forma de inegalitate

și când. și anume caracteristică trebuie să se afle la linia dreaptă din dreapta trasă prin origine, cu o pantă pozitivă.

Cazul 2. Partea lineară a ACS poate fi neutru sau instabil, adică ecuația caracteristică (1,38) poate avea rădăcini cu zero sau pozitiv părți reale.

Efectuam transformarea echivalentă a neliniar inițial SAU (1.31), rezultând transformat primi circuit (figura 1.35). Schemele 1.31 1.35 echivalente cu ieșire. deoarece semnalul de intrare este același semnal

Este selectată o valoare minimă. în care partea liniară convertit este stabilă, adică, pentru

toate rădăcinile ecuației caracteristice

au părți reale negative.

Pentru elementul neliniar convertit

Solicită ca, în conformitate cu criteriul Popov neliniarității satisface inegalitatea

Apoi, neliniaritatea trebuie să se refere la clasa neliniarităților situată în sectorul:

Aplicarea schemei din figura 1.35 a criteriului transformat Popov obține inegalitate

în care, în comparație cu (1,39) se înlocuiește cu funcție.

Un caz special. Să considerăm cazul în care partea lineară este astatic ACS neliniar de ordinul întâi, adică, ecuația (1.38) are una reală rădăcină zero și rădăcinile rămase ramase. Că toate rădăcinile ecuației caracteristice (1,46) au fost cu părți reale negative, suficient pentru a lua valoarea arbitrar mici. În acest caz, neliniaritatea trebuie să îndeplinească condițiile

în care - o cantitate mică pozitivă.

Astfel, în practică, puteți utiliza starea Popova și în acest caz, numai în cazul în care non-liniaritatea. care nu se poate atinge axa x.

Exemplul 1.4. Lăsați partea liniară a ACS are o funcție de transfer

Caracteristicile amplitudinea și faza prezentată în ris.1.36.

Răspunsul de frecvență convertit

Caracteristici diferite de la o schimbare în scara ordonată în timp. Din moment. linia se poate face pentru orice astfel de schimbare întotdeauna prin origine, astfel încât această caracteristică a fost culcat pe dreapta ei. Aceasta înseamnă că un sistem neliniar închis este absolut stabil pentru orice neliniaritate. pentru care coeficientul. și anume situat în cadranele 1 și 3.

Exemplul 1.5. Partea liniară a ACS are o funcție de transfer

Folosind criteriul Popov, găsiți dimensiunea sectorului, care este un proces continuu la starea de echilibru non-liniaritate ar trebui să aparțină, în care un sistem de control automat închis este absolut stabil.

În acest caz, partea lineară a ACS este neutru, ecuația are un zero și două rădăcină reală este negativă.

Construit funcția de transfer transformat

care poate fi arbitrar mici;

Construct transformată caracteristic (ris.1.37), care se intersectează cu axa reală la un punct.

Rezultă că pentru stabilitatea absolută a neliniarității ACS închis trebuie să satisfacă inegalitatea

A se vedea :. literatură [2, p. 43-71; 3, p. 512-537; 10, p. 34-40].

întrebări de testare:

1. Care este rezistența „în mici“, „în mare“, „ca un întreg“?

2. Aduceți teorema privind stabilitatea asimptotică.

3. Dă teorema privind stabilitatea exponențială.

4. Definiți stabilitatea absolută.

5. frecvența Give criteriu de stabilitate absolută Popov. Dă o interpretare geometrică.

6. Ce condiții trebuie să îndeplinească non-liniaritatea în cazul în care partea liniară a sistemului este instabil sau neutru?

7. Cum se poate compara criteriul Nyquist cu criteriul Popov?