spațiu Zhennoe

AN Ostylovsky Curs 12. (spațiu dublu). Formele liniare și componentele acestora. Dual spațiu. bază dublă. Înlocuirea bază în spațiul dublu. forma multiliniare, componentele sale. Formularul multiliniare componentă de conversie atunci când o schimbare de bază

12.1. Formele liniare și componentele acestora

Considerăm n-dimensional spațiu liniar L peste câmpul numerelor reale R.

Definiție 12.1. Din f. formă L. R numit liniar dacă

pentru toate x; y 2 L și R 2:

Exemplul 12.1. Cea mai simplă formă liniară L este la Nu

funcționalitate stânga. L. R; și anume (X) = 0 pentru orice x 2 L:

Exemplul 12.2. Fix a = [a 1 ,. ; o R n n] 2. pentru

arbitrar x = [x 1 ,. ; x n] T 2 R n set

unde a = [1 ,. ; a n] coordonata „portret \ f formează o bază e. Astfel, o formă arbitrară f definită în mod unic prin componentele sale într-o bază selectată. Pe de altă parte, aceste componente pot fi alese în mod arbitrar (a se vedea. Exemplul 2 din secțiunea 3.1).

Formele liniare pentru L, adică L. elemente numite covectors.

12.3. bază dublă

Să bază e în L și e = fe 1 ;. ; e n g sistem covectors T definit în Exemplul 4.

Oferta. Sistemul e este o bază în L. Se numește conjugatul la bază e. Componentele de bază în f e sunt coordonatele sale în bază e:

Dovada. Arătăm că (2) rezultă

f = 1 e 1 + + a n e n = a i e i = ae:

Pentru x = i arbitrar e i 2 L au

(A j e j) (x) = a j e j (i e i) = a j i e j (e i) = a j i i j = a j j = a = f (x):

Astfel, ecuația (3) este demonstrată. Rămâne să verifice independența liniară a sistemului e. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătăm că coordonatele formei de zero. în acest sistem sunt egale cu zero. Așa să fie. = A i e i. atunci

! 0 = (e j) = (a i e i) (e j) = a i e i (e j) = a j i i = a j:

Corolar. dimL = dimL:

Notă 12.1. Baza e = fe 1 ;. ; e n spațiu g T în L pentru a scrie o coloană. Rezultă un raport frecvent utilizat

Componentele sunt așa numita formă multiliniare T în baza e = fe 1 ;. ; e n g. Este ușor de calculat că numărul lor este egal cu n p + q.

Rețineți că, pentru p dată și q, putem construi o formă multiliniare de tip (p, q), ale cărui componente în orice

baze egale n p + q specificați în prealabil numerele T i 1 i p. De fapt,

Acest formular se bazează pe formula (12).

Exemplu. operator liniar A. L. L atribuie formă biliniară T A. L L. R:

Să [a i j] matricea A în unele baza e. atunci

T A (e i; e j) = e i (A (e j)) = e i (k j e k) = a j i;

și anume T componentele A formular coincid cu elementele corespunzătoare ale operatorului în matricea bază e. Rezultă că corespondența între operatorii liniari și formele multiliniare de tip (1; 1) este bijectivă.

Exercitarea. Verificați dacă produsul mixt a trei vectori este o formă multiliniare de tip (0, 3).

12.6. Formularul multiliniare componentă de conversie atunci când o schimbare de bază

Ne întoarcem de bază e = fe 1 ;. ; e n g la bază e = fe 0 0 1 ;. ; 0 e n g. lăsa

e 0 = eS; 0 e j = j i j e;