punctul 32

manual electronic de geometrie

Capitolul 4. Liniile de ordinul doi în planul

§ 32. Dreptunghiul principal și asymptotes unui hiperbolă; hiperbolă echilateral. Construirea de hiperbola

Definiția. Dreptunghi (a se vedea. §31), numit hiperbola dreptunghi de bază.

Teorema 50. Principalul hiperbola dreptunghiular nu conține puncte de hiperbolă.

Adoptarea acestei teoreme este evident din proprietățile d) și e) ale hiperbola (vezi. §31).

Definiția. Liniile drepte care trec prin originea și paralelă cu axa hiperbola și având coeficienți unghiulare. Ei au numit asymptotes de hiperbola.

Notă. hiperbolă asimptotă - este studiile directe și corespunzătoare cazului 2) litera d) ale proprietăților hiperbola (vezi §31) ..

Teorema 51. distanța dintre punctul și hiperbola corespunzător (cu aceeași abscisă) asimptota cu punctul în creștere se apropie de zero.

Deoarece hiperbola și simetrică cu respect. . este suficient să se dovedească teorema pentru primul trimestru al sistemului de coordonate (). Să - punctul hiperbolă - punctul asimptota corespunzător.

Găsim lungimea segmentului.

Înmulțim numărătorul și numitorul expresiei obținute prin (), obținem următoarele.

Definiția. Hiperbola definită ecuația canonică

Se numește echilateral dacă. că este, ecuația sa este:

Deoarece hiperbola asymptotes coeficienții unghiulare echilaterale. apoi asimptota unui hiperbolă sunt Bisectoarele cadranele, iar piața principală este un dreptunghi de hiperbolă.

Teorema 52. Dacă axele carteziene sistemul de coordonate ia asimptota hiperbolă echilateral

în sistemul de coordonate carteziene, ecuația este gradientul proporționalității inverse:

Să - sistem de coordonate carteziene, în cazul în care. aparțin asymptotes unui hiperbolă, și - sistem canonic original, în care o ecuație hiperbolă (3).

Să ambele sisteme au aceeași orientare, și în afară. Prin urmare, formula de conversie în tranziția de la un sistem care urmează să fie obținut din (7) § 16 și au forma:

Rețineți că, în comparație cu (7) § 16 - vechi, și - un nou sistem de coordonate, în formulele (5) pentru a înlocui, și vice-versa.

Rezolvarea (5) în raport cu u. obținem:

Substituind aceste valori în (3):

Din moment. atunci ecuația (7) este echivalentă cu ecuația (4).

a) (definiția unui hiperbolă). Ia-line cu o lungime mai mare decât axa reală a hiperbola. și atașați la capătul său o lungime de fir să fie egală cu diferența dintre lungimea reală a liniei axei și lungimea fire lungi. Al doilea capăt se atașează o linie la o focalizare, astfel încât linia se poate roti în jurul ei, iar celălalt capăt al firului pentru a fixa în celălalt focalizarea. Dacă țineți punctul de un fir de creion, astfel încât ea a fost întotdeauna strâns și la punctul de creion alunecă de-a lungul liniei, linia în timp ce se rotește creionul va descrie ramura hiperbola.

b) Să - trucuri hiperbolă. Compas de soluție arbitrari construiește un cerc. și apoi raza () desena un alt cerc centrat în punctul. Punctele de intersecție ale acestor cercuri sunt puncte de hiperbolă. Repetați acest pas de mai multe ori, vom obține punctul de hiperbolă.