Non-triviale probleme de probabilitate

Pe scurt: „Găsiți zona medie a proiecției cubului cu marginea de lungime 1 pe un plan cu o direcție aleatoare distribuită izotrop de proiecție“ Cu alte cuvinte, ceea ce este media zona cubului proiectat pentru toate orientările posibile?

Acest post explorează utilizarea Mathematica, pentru a înțelege, și în cele din urmă rezolva problema. Acesta recreează soluția mea la această problemă.

Proiecția pătrat pe o linie dreaptă

Înainte de a trece la cazul cutiei, am început cu unitatea de suprafață, în mod accidental de cotitură în jurul centrului său de masă, cu intenția de a găsi proiecția sa pe durata medie a axei orizontale.

Pentru simplitate, am plasat în centrul de masă în zona de origine.

Am găsit laturile din stânga și dreapta ale proiecției ca cele mai mici și cele mai mari x coordonate nodurile pătrat, rotește în jurul originii de unghiul a:

Apoi am combinat aceste funcții în cadrul Manipulează [], pentru a fi capabil de a modifica dinamic unghiul de rotație:

Aceasta este lungimea proiectată în funcție de unghiul de rotație:

Presupunând că unghiul de rotație α este uniform distribuit în intervalul 0 ≤ subunitatea