limbaj matematic

În logica algebrică pentru a descrie adevărul de intrare și de caracter, pentru a denota falsitate - simbolul L. Adesea, în locul acestor caractere sunt utilizate numerele 1 și 0.

Putem spune că logica matematică studiază bazele matematicii, principiilor de construcție a teoriilor matematice.

Principalul subiect al logicii matematice este construcția și studiul sistemelor formale. Rezultatul principal este dovedit în 1931 de matematicianul austriac Gödel incompletitudine teorema, care afirmă că sunt insolubile în propunerile pe orice sistem formal „destul de rezonabil“, adică, cei cu formula A, că orice formulă A în sine, nici negația ei nu sunt de ieșire .

§ 2 al limbajului matematic. Conceptul de cuvinte și propoziții matematice.

Când vom scrie un eseu, o scrisoare, vorbi în cadrul reuniunii, apoi exprima gândurile lor folosind propoziții. Citind o carte, un articol, ne vom întâlni din nou cu faptul că argumentul este un șir de câteva propuneri.

Dar, după cum știți, orice forme propunerea cuvintelor, și cuvintele - ale literelor unui alfabet. Alfabetul este format din zece cifre pentru a înregistra numere în sistemul zecimal (0,1,2, ..., 9); literele alfabetului latin, pentru variabile, seturi de elemente (a, b, c, ..., z, A, B, C, ..., Z); semne de acțiune de înregistrare (+, -. ·. Ö. etc) .; relație de caractere, pentru înregistrarea propunerilor (=,>, <и др.). А также в символических записях встречаются скобки, запятая.

cuvinte construite și propoziții ale acestor semne. Word - este o secvență finită de litere ale alfabetului, ceea ce face sens. De exemplu, înregistrarea 7 -. 8 + nu are nici un sens, și, prin urmare, nu este destul de cuvântul.

Exemple elementare și complexe se disting în matematică. De exemplu: „Numărul 56 este împărțit în 8“ - este o propunere elementară. Și propoziția „Numărul 56 este chiar și este împărțit în 8“ compozit.

Printre hotărârile de stabilire a unor relații între concepte, declarații și distinge forma propozițiilor. Declarația face referire la propunere, în ceea ce privește care are sens să se întrebe dacă este adevărat sau fals.

De exemplu, propoziția „este un număr par de 8“ este o afirmație adevărată, o propoziție „3 + 3 = 32“ declarație falsă. Fiecare declarație atribuită uneia dintre cele două valori: Și (adevăr) și A (fals). Și valorile și N este valoarea unei declarații este adevărată. În cazul în care declarația este elementar, valoarea ei de adevăr este determinată de conținutul său. Și dacă este compozit, atunci valoarea de adevăr depinde de valorile de adevăr ale declarațiilor sale constitutive elementare legate prin utilizarea cuvintelor „și“, „sau“, „nu“ particule „dacă ..., atunci ...“, etc., care sunt numite conector logic ..

Clarificarea sensul care în matematică este conjuncția „și“. Fie A și B - declarații arbitrare. Forma de la ei, folosind „și“ declarația compus Uniunii. Noi o numim conjugarea A și reprezintă # 1784; (Citire: A și B).

Konyunkitsiey propozițiile A și B este propoziția A # 1784; B, ceea ce este adevărat atunci când ambele afirmații sunt adevărate și false dacă cel puțin una dintre aceste afirmații este falsă.

Folosind această definiție, vom găsi valoarea de adevăr afirmația „un număr par de 102 și împărțit în 9“. Afirmația este în formă de „A și B“, unde A - numărul 102 chiar - Și și B - numărul 102 este divizibil cu 9 - L. Prin urmare, întreaga teză fals.

Să vedem acum ce este punctul în matematică este conjuncția „sau“. Fie A și B - declarații arbitrare. Forma de la ei cu ajutorul Uniunii „sau“ declarație compus. Să-l numim și reprezintă disjungerea A # 1783; (Citire: A sau B).

Disjungerea propozițiile A și B este propoziția A # 1783; B, ceea ce este adevărat este adevărat, atunci când cel puțin una dintre aceste declarații, și fals în cazul în care ambele afirmații sunt false.

Folosind această definiție, vom găsi valoarea de adevăr a instrucțiunii „sau un număr par de 15 este divizibil cu 3“ declarație are forma de „A sau B“, unde A - este un număr par de 15 - A și B - numărul 15 este divizibil cu 3 - I. Prin urmare, și toate oferă adevărate.

Este important să se știe care dintre conjuncția „și“ sau „sau“ în prezenta propunere, în caz contrar se poate dovedi o astfel de neînțelegere: Odată ce Kate a mers la o plimbare cu câinele, și sa întors cu o plimbare agitat. Unii trecator a certat-o ​​cu încălcarea regulilor pentru păstrarea câini în oraș. Pliant cu regulile au fost lipite pe gard, iar unul dintre ei a fost: un câine pentru o plimbare ar trebui să fie în lesă, cu un bot ... (o bucată de hârtie, după cuvintele „în lesă“ a fost tăiat).

Ea a scos câinele din lesă, dar a lăsat în bot. Acest exemplu arată în mod clar rolul Uniunii. Dacă a existat un cuvânt „și“, un trecător ar fi avut dreptate. În cazul în care conjuncția „sau“ ar peahen Katya.

De multe ori în matematică trebuie să construim declarația în care este refuzat ceva. De exemplu, având în vedere declarația „numărul 12 simplu.“ Aceasta este o afirmație falsă. Construi negarea ei: „Nu este adevărat că numărul de 12 de simplu.“ Avem o declarație adevărată. O enunțuri negare reprezintă # 256; Ei au citit: „Nu este un“ sau „Nu este adevărat că A“.

În general, negarea declarațiilor O declarație se numește # 256;, ceea ce este adevărat, dacă propoziția A este falsă, și fals atunci când A este adevărat.

De asemenea, declarațiile compuse pot fi obținute prin intermediul cuvintelor dacă ... atunci ...“. De exemplu: „Dacă aș cumpăra un bilet, apoi du-te la teatru“, „În cazul în care un student a primit o evaluare pozitivă la examen, el a trecut examenul“. Declarațiile are forma de „Dacă A, atunci B“ și a cerut declarații de implicare A și B (de la cuvântul latin cravată implicatiomecho). declarațiile Implicația A și B este scris după cum urmează: A Þ Si a citit „Dacă A, atunci B“. O declarație se numește starea de implicare, și într-o declarație - încheierea acestuia.

Crede că implicație A Þ Așa cum este adevărat, în toate cazurile, cu excepția cazului când A este adevărat și B este fals.

Dar există, de asemenea, implicarea invers. Rearanjarea implicarea a două propoziții A Þ Așa cum am obține în Þ A. Este numită implicit, inversă implicație A Þ B. De exemplu, în cazul dat implicația „Dacă sunteți în vârstă de peste 14 ani, aveți un pașaport,“ implicația, inversul acestui fapt, după cum urmează: „Dacă aveți un pașaport, atunci mai mult de 14“.

Noi formează îmbinarea a două implicații reciproc inverse A Þ B și B Þ Și, aceasta este o declarație de forma (A Þ În) # 1784; (The Þ A). Această afirmație este adevărată numai în cazul în care propunerile A și B sunt ambele adevărate sau ambele false. Declarațiile de acest tip sunt numite declarații de echivalență A și B suport pentru: A Û B. Înregistrarea cititorilor: a) A este echivalent cu B; b) A dacă și numai dacă B; c) Și, dacă și numai dacă B.

În cazul în care Propozitia O propunere ar trebui să fie în și din Ofertelor ar trebui să ofere, atunci spunem că propunerile A și B sunt echivalente.

De exemplu, echivalența „2 = 3 dacă și numai dacă 3 <5» - ۸, потому что ложно высказывание «2 = 3».