funcției exponențiale, matematică, fandomului alimentat de Wikia
Funcția exponențiale - funcția este de obicei notată cu un x. în cazul în care un - un număr real. și x - variabilă. În cazul în care ca (denumit, de asemenea, ca bază) reprezintă numărul e. atunci funcția se numește exponențială.
Deducem existența și proprietățile funcției e X pe baza teoriei limitelor.
Introducerea funcției exponențiale Editare
Luați în considerare o secvență a unei (x) =, notată limita ei :.
- a (0) = 1;
- a (1) = e prin definiție;
Prin urmare, în cazul în care există limita pentru unele x, atunci este non-negativ. Noi acum arată că pentru orice secvență x o (x) converge și, prin urmare, o funcție (x) este definit, pentru orice x reală. În primul rând vom demonstra monotonia unei (x). După cum sa menționat deja, pentru orice x, incepand cu unele n, toți membrii secvenței sunt pozitive, deci fără frică ia în considerare pentru o astfel de n roll. Transformarea aceasta: ====. Acum, la extrema stângă inegalitatea Bernoulli aplicabilă multiplicator și obținem că toată expresie este mai mare (cu n strict mai mare decât unele N1), decât = 1. Prin urmare, creșterile de secvență. Pentru existența limitei este necesară și mărginită de mai sus. Să ne dovedească și ei. o (x) o grupare (-x) =, deci, o (x) =. Numărătorul fracțiunii pe dreapta pentru o suficient de mare n este mai mare decât zero, dar întotdeauna mai mică decât unitatea, numitorul, așa cum tocmai a fost dovedit, și crește suficient de mare pentru n este mai mare decât zero. Fix unele n = N2. că numitorul este mai mare decât zero. Apoi partea stanga va fi întotdeauna mai puțin, adică constantă. Prin urmare, secvența foarte limitată, și (x) este definit peste tot pe.
Editare proprietăți
Vom descrie proprietățile funcției ne-a introdus.
1). o (x + y) = a (x) a (y). Pentru a dovedi acest lucru, să ne dovedească lema mai întâi: dacă, atunci.
Pentru suficient de mare n | αn | Devine mai puțin de unitate; Bernoulli obține că = pentru inegalitate. Vedem că în extremitatea stângă iar părțile tind să mai din dreapta unității, și, prin urmare, de teorema privind limitele de inegalitate. și încheiat între ele expresia tinde către același număr, h. t. d.
Acum, dovada proprietăților reale. a (x) a (y) = = = = =, unde α =. Din această proprietate rezultă că (x) a (-x) = 1.
2). De la 1 proprietate care pentru orice x a (x) este non-negativ, ci (x) = a (x / 2 + x / 2) = a (x) 2. și, prin urmare, o (x) este întotdeauna pozitiv.
3). a (x) crește. Într-adevăr, în cazul în care x2> x1. apoi (x2) = a (x1 + (x2 - x1)) = a (x1) a (x2 - x1), unde (x1) este pozitiv, iar următorul factor mai mare decât unu (deoarece, potrivit tuturor inegalității aceleiași Bernoulli , o (x)> = 1 + x).
4). a (x) este continuă. Dovedim continuitate la zero: 1 + x, și, prin urmare, limita este egală cu unitatea la zero - valoarea la zero. Dacă ne uităm la x0. vedem că (x) = a (x0) a (x-x0), tinde x la X0 factor dreapta tinde la 1 și, prin urmare, limita o (x) într-un punct egal cu valoarea pe care în același punct, h. m . d.
Acum, să ne uităm mai atent la funcția introdusă. a (nx) = a ((n - 1) x + x) = ... = (a (x)) n; a (1) = e, o (1 / n) = e 1 / n. o (m / n) = e m / n. un (-m / n) = e -m / n. Toate acestea sunt ușor de arătat. Sa dovedit faptul că setul de numere raționale de intrare la o funcție identică cu funcția e x; De fapt, acesta este același lucru cu ea.