funcție liniară
Cea mai simplă funcție, care are totuși o serie de aplicații importante este o funcție liniară este un binom de gradul I:
în cazul în care a și b sunt numere reale. Investigarea acestei funcții. Pentru a începe să setați în ecuația (1) b = 0:
Y este proporțională cu x. Prin urmare, numărul numit un coeficient de proporționalitate. Curve (2) trece prin origine ca x = 0 și y = 0 satisfac ecuația (2).
Figura 1 arată că, pentru fiecare punct aparținând funcției M. liniare, raportul dintre ordonatei y (segment NM) a acestui punct la abscisa x (ON segment) său este o valoare constantă egală cu tangenta unghiului a, de aceea M. locus este o linie dreaptă, trecând prin origine și care formează un unghi α (sau tt + a) la axa OX. Unghiul α este măsurată de la axa OX la linia invers acelor de ceasornic. Un coeficient numit pantă. În cazul în care un <0, то соответствующий угол больше 90° и прямая выглядит, как на рисунке 2.
Să ne întoarcem la forma generală a ecuației (1). Dacă valoarea este substituită în ecuația x = 0, obținem y = b. și anume linia OY intersectează axa ordonată în b (dacă b> 0, atunci intersecția se află pe axa OX. și când b <0, под ней). Коэффициент b называют начальной ординатой.
Definiția. Graficul unei funcții liniare (1) este o linie dreaptă, care coeficient este tangenta unghiului dintre axa OX și linia dreaptă, iar b este coeficientul axei interceptii segmentului liniei OY pornind de la originea O.
În cazul particular a = 0, tangenta corespunde unghiului de 0 °, adică, drepte axa OX paralele și distanțate de acesta printr-o distanță b. Valoarea Funcția y este constantă și egală cu b.
funcția de creștere
Definiția. Incrementarea variabilei x independente la trecerea de la inițial la final x2 valoarea x1 este diferența dintre valorile finale și inițiale:
Corespunzătoare Funcția increment y = f (x) este diferența dintre finală și valoarea inițială a funcției:
Rețineți că creșterea poate fi pozitiv sau negativ sau zero.
Să considerăm ecuația unei funcții liniare pentru două valori ale variabilei x.
Termwise scăderea din a doua expresie a primit prima
y2 - y1 = o (x2 - x1) și Dy = o. Ax (3)
Proprietatea este o funcție liniară. O proprietate a funcției y liniare = ax + b este funcția de proporționalitate a creșterii (y2 - y1) incrementarea variabilei independente (x2 - x1), cu un coeficient de proporționalitate egal cu un (panta panta graficului sau funcție).
In Figura 3, această proprietate este prezentată grafic. Incrementarea variabilei independente corespunde unui segment M1 P. funcție increment - M2 P. Din triunghi M1 PM2 urmează relația (3), unde a = tg α.
Să presupunem că funcția are proprietatea de mai sus proporțională cu creșterea variabilei independente. Din relația (3)
Presupunem variabila independentă funcția x2 y2. și valorile x1 și y1 fixe. Am rescrie ultima relație în formă de:
Expresia din paranteze este un număr fix, notată cu b. Funcția y2 Redenote de y. ca x2 variabilă independentă de x. în cele din urmă obținem
Prin urmare, orice funcție având proprietatea proporțională cu creșterea variabilei independente este o funcție liniară y = ax + b cu un factor de proporționalitate a.
O aplicație importantă a acestei proprietăți este că orice lege a naturii, în care există un studiu de proporționalitate variabile, descrise de o funcție liniară, și portretizat linia ei program dreaptă.
Exemplu mișcare uniformă. Luați în considerare exemplul mecanicii - mișcarea uniformă a subiectului. Dacă se deplasează punctul M de-a lungul unui traseu (cale), atunci poziția sa este determinată de distanța dintre M0 un anumit punct de pe această cale spre punctul M din lungimea arcului M0 M. Distanța parcursă s este o funcție a t variabila independentă de timp și putem construi un grafic de dependență funcțională (Figura 4 , linia albastră) s = f (t).
Mișcarea se numește uniformă. în cazul în care calea parcursă de un punct pentru orice perioadă de timp, este proporțională cu acest interval:
Factorul de proporționalitate se numește viteza de deplasare v este constantă v = const.
Lăsați la timpul t = 0 inițial, a fost trecut calea s0. Apoi, din relația (4), ecuația graficului mișcare uniformă va avea forma:
Această ecuație este ecuația de o linie dreaptă a cărei pantă este egală cu viteza de deplasare, iar interceptului egală cu valoarea s0 s la inițială timp t = 0 (Figura 4, linia roșie).
Referințe- V. I. Smirnov. Curs de matematici superioare. 1. Tom M. Science. 1974.