funcția Lagrange unidimensională mișcare

Se numește mișcare unidimensională a unui sistem cu un singur grad de libertate. Forma cea mai generală a Lagrangianului pentru o astfel de mișcare în condiții externe constante:

unde m (q) - o funcție a coordonatelor q generalizate. În particular, dacă q - coordonate carteziene x. atunci. (2)

Legea de mișcare a unui astfel de sistem poate fi găsit într-un mod general, atunci când energia potențială nu depinde de timp. În acest caz, și energia stocată a sistemului:

Din această ecuație, obținem: în cazul în care

Rezolvarea ecuației (4) găsi relația dintre x și t. și anume găsirea ecuației de mișcare x (t). Deoarece energia cinetică a unei valori pozitive, energia totală este întotdeauna mai mare decât potențialul. Ie mișcare este posibilă doar în cazul în care E> U (x). Lăsați graficul energiei potențiale are forma prezentată în figură.

Trage o linie dreaptă pe grafic care corespunde unei valori predeterminate a energiei totale. Condiția E> U (x) corespunde mișcării în AB sau în dreapta C. Punctele în care E = U (x) definesc limitele mișcării și punctele de oprire sunt numite. Se agită în zona delimitată de cele două puncte se numește finit. În cazul în care zona de circulație nu este restricționată sau limitată pe de o parte, o astfel de mișcare este numit infinit. Cifra AB - o zonă mărginită de mișcare, zona din dreapta punctului C - infinit.

mișcare finit dimensional este oscilație. În figura corpul se mișcă într-un potențial bine AB între punctele x1 și x2. Perioada de oscilație este de două ori timpul de propagare intervalul [x1, x2]. După cum rezultă din (4):

Dacă utilizarea formei Lagrange de intrare funcție (1), formula pentru perioada de oscilație va forma cea mai generală:

Să considerăm, de exemplu, mișcarea unui pendul simplu. masa corporala m. conectat la rigid imponderabil lungimea tijei l cu un fix se deplasează de punct suspensie într-un plan vertical sub acțiunea gravitației.

Generalized coordonate pendul alege unghiul j între verticală și tija. Apoi, coordonatele carteziene asociate cu j după cum urmează :. Prin urmare ,. Funcția Lagrange a unui pendul simplu este dat de :. Comparând această relație cu formula (1), se constată că m (q) = ml 2. Apoi, matematic perioadă pendul oscilație în conformitate cu formula (6): (7)

Unghiurile J1 și J2 sunt condiția E = U. În cazul în care energia totală E va fi mai mglcosj. atunci ecuația E = U nu va avea soluții, iar mișcarea pendulului va fi o rotație.