Funcția (afișare) ca o relație binară

Rolul fundamental matematica joacă în conceptul funcției (afișare), care este un caz special al unei relații funcționale.

DEFINIȚIE 1. O relație binară f între elementele A și B (adică) este relația funcțională dacă și

Definirea 1 implică faptul că un raport binar este funcțional atunci când fiecare valoare a perechii primei coordonate a f corespunde numai doua coordonată, care este notat cu y = f (x). Și se spune în acest caz că y este o funcție de x.

Definiția 2. nazyvaetsyaoblastyu determina relațiile funcționale.

3. Determinarea relațiilor funcționale f între elementele A și B este o funcție sau de cartografiere A la B, dacă notat

O pluralitate de domeniu a funcției se numește, o multitudine de valori ale funcției în -domain.

Dacă y = f (x), y se numește imaginea sub f puncte x, iar x este numit prototipul de cartografiere litera f y.

Să. apoi numit setul de imagini (subset), cartografierea M f. În special, imaginea este afișată la setul A f.

Lăsați apoi imaginea inversă a C sub harta f. În particular,

Exemple: Următoarele relații sunt mapări:

Următoarele hărți nu sunt hărți:

Compoziție Funcție. Teorema associativity funcționează funcții.

Definiție 1. Fie f și g - funcții, și g: A → B, f: B → C. Compoziția (produsul superpoziție) funcții f și g este o mapare de la A la C, valoare care este f (g (x)) pentru arbitrare.

Denumire: sau. adică (fg) (x) = f (g (x)).

2. Determinarea și de afișare numit egal dacă și numai dacă f (x) = g (x)

Exemplu: Fie - funcția, definită după cum urmează:

Exemplul arată că.

Teorema 1: Fie. și - afișare. Apoi, - în afișaj D. A, în care (1). adică lucrări Hărți asociativ

Prin urmare, ecuația (1) deține. QED.

Cartografiere identității de ei înșiși. Afișaj reversibil. Surjection injecție bijectie. Dovada injectivitatea surjectivitatea f și g, satisfăcătoare. Teorema pe ecran reversibil.

Definiție 1: Maparea se numește o transformare a setului A.

Definiție 2: Conversia setului X este numit identitatea sau transformarea de identitate în cazul în care. și anume transformarea fiecărui punct de X în sine.

Definiția 3: Let. Dacă (1). atunci g se numește stânga pentru inverse cartografiere f. Dacă (2), atunci g se numește mapare inversa dreapta pentru f. Dacă egalitățile (1) și (2) simultan, g se numește mapare inversa pentru f.

Dacă există o mapare inversă f g, atunci f este numit un ecran reversibil .Oboznachenie :.

Lema 1. Fie f - cartarea X în Y. Apoi.

În mod similar putem dovedi a doua egalitate.

Lema 2. Dacă există maparea inversă a lui f, este unic.

Dovada: Să deși - verificați afișajul pentru f (aici). Apoi, g și egalitățile:

Apoi, prin Lema 1, avem ceva de mâncare.

Definiție 4. O mapare se numește surjectivă, sau un surjection dacă = B. Aceasta vine FMi este un surjection - această hartă este „pe“ pat și,

Determinarea 5. Afișaj. numita cartografiere injectivă (injecție) sau unu-la-unu de cartografiere A la B, în cazul în afară. adică puncte diferite ale A sunt afișate la momente diferite în f din B.

6. Determinarea mapping se numește mapare bijectivă (bijectie) sau unu-la-unu corespondență, în cazul în care f surjectively și injectivă.

Lema 3: Dacă U (1). f - injecție & g - un surjection.

Dovada: Vom arăta că f - injecție.

Să presupunem că (*). Apoi. adică, și, prin urmare, injective f-.

Arătăm că g - surjection. avem:

. adică, există un mijloc, g - surjection.

Teorema 1. Cartarea este reversibil dacă și numai dacă f - bijectie.

Fie f - reversibil, în timp ce pentru f are o funcție g inversă: (1) și (2). De la (1), prin Lema 3 care f - injecție. De la (2), prin Lema 3 care f - surjection.

Fie f - bijectie. Arătăm că f este o cartografiere inversabilă. Deoarece f - bijectie, apoi - (. Adică diferite puncte x1, x2 X corespund diferitelor puncte de Y) f injecție și f - surjection (adică f (X) = Y).

Definiți un nou bijectie g de regula se arată că g - relație funcțională, adică. g atribuie un singur punct de X. Let. în cazul în care. Să presupunem că. apoi injectivitatea f. dar. De aici o contradicție, x1 = x2.

Astfel, g - relație funcțională.

Arătăm că relația funcțională g este o mapare. Într-adevăr, din moment ce f - surjection, atunci și, prin urmare,

Astfel, g - afișaj.

Acum, trebuie să arătăm că într-adevăr,

Prin urmare, g - funcția inversă a f. adică f - reversibil. QED.