fracții algebrice, platforma de conținut
Subiect 7 „fracții algebrice“
Scopul cap - de a dezvolta abilitățile elevilor de operații stabile cu fracții algebrice.
Vei face cunoștință cu fracții algebrice în care numărătorul și numitorul - expresiile întregi literale, învață cum să adăugați, scădere, înmulțire și împart fracțiile algebrice.
1. Definiția fracții algebrice.
În a șaptea și a opta au fost considerate expresii întregi literale. Astfel de expresii sunt polinoame de una sau mai multe variabile. De exemplu ,,,,,.
Uneori, expresiile litere întregi sunt numite expresii algebrice numere întregi.
Reamintim că, atunci când sunt substituite într-o expresie algebrică în loc de litere ale unor numere se obține expresia numerică. Valoarea expresiei numerice este valoarea unei expresii algebrice pentru un anumit set de variabile. De exemplu, expresia întreagă pentru u are o valoare.
Integer expresii literale sunt convenabile pentru înregistrarea anumitor formule, funcții, și pentru alte scopuri.
2.Znachenie fracții algebrice.
Pentru polinoame întregi au fost determinate adunare, scădere și înmulțire. Studiind polinoame de o variabilă, am constatat că se divid un polinom fără un rest la altul și de a obține un privat sub forma unui polinom nu este întotdeauna posibil. Pentru divizia ar putea fi luate în considerare pentru expresiile algebrice, fracții algebrice determinate.
Raportul dintre două numere întregi expresii algebrice numite fracții algebrice.
Iată câteva exemple de fracții algebrice:
În fracții algebrice, ca și în fracțiuni numerice, sunt numărătorul și numitorul.
Numărătorul fracției este numită expresia algebrică pe deasupra slash.
Numitorul fracției se numește expresia algebrică sub slash. Pentru concizie, fracția algebrică se numește fracție, atunci când textul este clar cu privire la orice fracțiuni în cauză.
3.Oblast determina fracțiunea.
Substituind în fracțiunile algebrice în loc de litere numărul specific, vom obține expresia numerică. Pentru anumite valori ale variabilelor valorii numitorul poate fi zero. Dar, din moment ce nu se poate diviza de la zero, atunci pentru valori ale variabilelor pentru a calcula valoarea fracțiilor algebrice nu este posibilă. Noi spunem că o fracțiune algebrică nu este definit pentru seturile de variabile pentru care valoarea numitorul este zero.
Exemplul 1. O fracțiune are un numitor care dispare la. Prin urmare, această fracțiune nu este definit pentru.
Exemplul 2 Fracțiunea are un numitor care este identic egal cu zero. Prin urmare, această fracțiune nu este definită la orice valoare.
Exemplul 3. Fracțiunea are un numitor care dispare la. Prin urmare, această fracțiune nu este definită, dacă luăm valori egale de variabile și.
4. Deoarece fracțiile algebrice pentru anumite valori ale variabilelor nu poate fi determinată, ar trebui să fie luate în considerare în cadrul operațiunilor cu fracții, luând în considerare numai acele variabile pentru care fracțiunile sunt definite și realizabile toate operațiile aritmetice.
O multitudine de valori variabile sub care este definită o fracțiune algebrică dată, numit domeniul acestei fracțiuni.
DOMENIU definiția algebric pentru fracțiuni de mai multe variabile set greu. De aceea, considerăm definiția câmpului numai pentru fracțiile algebrice cu o singură variabilă, cum ar fi o variabilă. În acest caz, fracția este de forma unde - polinoame.
Solicitarea fracții algebrice, uneori, punct și domeniul său.
Exemplul 4. Fracția luate în considerare pentru toate reale, altele decât 2. În acest exemplu, domeniul fracțiunii este format din toate numerele reale nu sunt egale cu 2, și poate fi exprimat ca o unire a două intervale:
Exemplul 5. Dacă ne interesează în valoarea fracției de pozitiv, atunci domeniul acestei fracțiuni poate fi considerată egală cu intervalul.
Exemplul 6. Fracția luate în considerare în toate naturale. În acest exemplu, domeniul fracțiunii - este mulțimea tuturor numerelor naturale.
De multe ori nu este specificat domeniul de fracții algebrice. În acest caz, presupunem că fracțiunea de domeniu - set de numere reale pentru care valorile fracțiilor determinate.
Exemplul 7: Scrierea unei fracții, vom presupune că acesta este definit pentru reali.
Exemplul 8: Scrierea împușcat, vom presupune că acesta este definit pentru reali.
5. ** Dependența de domeniu fracțiune din setul numeric.
Domeniul fracției algebrice depinde de setul de numere, care examinează valoarea variabilei.
Exemplul 9. Fracțiunea definită peste tot, dacă luăm în considerare numai valori întregi ale variabilei. Și aceeași fracțiune nu este definită peste tot, atunci când sunt privite valori întregi, deoarece fracția care urmează să fie determinată.
Exemplul 10. Fracția definită peste tot, dacă luăm în considerare doar variabila întreg. Și aceeași fracțiune nu este definită peste tot, atunci când sunt privite valori raționale, deoarece fracția care urmează să fie determinată.
Exemplul 11 Fracțiunea definită peste tot, dacă luăm în considerare numai valorile raționale variabile. Și aceeași fracțiune nu este definită peste tot, dacă luăm în considerare valorile reale, ca și în cazul în care și în cazul în care fracțiunea nu este definită.
Încă o dată, observăm că, atunci când domeniul împușcat nu este specificat, vom lua în considerare pe mulțimea tuturor numerelor reale pentru care au fost determinate aceste valori de fracții.
proprietatea 6.Osnovnoe fracțiunilor algebrice
Să considerăm o fracție numerică. Valoarea acestei fracțiuni nu se va schimba dacă vom multiplica numărătorul și numitorul cu același număr de zero. De exemplu,
O proprietate similară deține fracțiuni algebrice. Se numește proprietățile de bază ale fracțiunilor algebrice.
Valoarea unei fracții algebrice nu se schimbă dacă numărătorul și numitorul fracției înmulțit cu același factor, valoarea care este diferită de zero.
Exemplul 12. Se consideră fracțiunea, care este definit pentru și de multiplicare, care este diferit de zero și când. Conform proprietății de bază pentru orice fracțiune algebrică care nu coincide cu oricare dintre numerele - 2, 1, -1, egalitatea
Uneori, proprietățile de bază ale fracțiunilor algebrice este formulat în mod diferit:
fracțiune algebric nu se schimbă dacă numărătorul și numitorul multiplicată cu același factor, nu dispare în determinarea fracțiunii algebrică.
Aceasta implică faptul că valoarea fracției și fracțiile sunt considerate pe partea comună a domeniilor lor.
Exemplul 13. Egalitatea are loc la acele valori pentru care sunt definite ca fracțiune, și fracțiunea. Fracția definite în alte scopuri decât -2 și 2. Fracțiunea determinată la alta decât 2, 2 și -1. Prin urmare, egalitatea este îndeplinită pentru fracțiunile altele decât -2, 2 și -1.
7.Sokraschenie fracții algebrice.
Luați în considerare fracțiunile și. Conform proprietății principale din fracțiuni, aceste fracțiuni sunt o parte comună a domeniilor lor, adică,
Noi rescrie ecuația în formă
Partea dreaptă a acestei ecuații se obține din partea stângă a contracției numărătorul și numitorul cu același factor. Noi spunem că o fracție obținută din reducerea fracțiune din numărătorul și numitorul cu un factor comun.
Odată cu reducerea numărătorul și numitorul de factorul comun este adesea obținută fracția cu grade mai mici de numărătorul și numitorul.
În acest exemplu, am redus fracțiunea pe numărul domeniului mnozhiPoetomu de fracțiuni și aceeași, și are loc egalitate pentru orice.
În acest exemplu, am redus cu o fracțiune de factor. Cu toate acestea, fracțiunea din stânga nu este definită la orice valoare. Prin urmare, egalitatea înregistrată nu este satisfăcută pentru orice valoare.
Acest lucru este valabil numai pentru astfel de valori și în care sunt definite atât în prima și ultima fotografie, care este, și.
8. ** Egalitatea de identitate a fracțiunilor pe un set. Proprietățile reflexivitate, simetrie, tranzitivitate.
Utilizarea semnului egal operații cu fracții algebrice are o semnificație mai complexă decât în operațiuni cu polinoame. Pentru seama de acest lucru, vom defini egalitatea de identitate a două fracții algebrice ale unei variabile pe un set de numere.
fracții algebrice și identic egal cu setul dacă, pentru fiecare valoare și definită și egală.
egalitatea identică a fracțiunilor și înregistrate printr-un semn în loc de care se folosesc, uneori semn convențional de egalitate atunci când textul este clar că vorbim despre egalitate identică a fracțiunilor algebrice pe un set.
Ecuatiei identitate fracțiilor algebrice din variabila are următoarele proprietăți principale.
Proprietatea fracție 1. Fie este definită pe platoul de filmare. Apoi, pe platoul de filmare.
Proprietatea 2. Să set. Apoi, pe platoul de filmare.
Proprietatea 3. Să set și pe platoul de filmare. Apoi, la intersecția dintre seturile și. Când avem egalitatea.
Exemplul 17 Când avem egalitatea. Prin urmare, pe baza proprietății de la 3, avem egalitatea
1. Ce este o expresie algebrică?
2. Ce este o fracție algebrică?
3. Definiți numărătorul și numitorul fracțiilor algebrice.
4. Pentru ce valori ale variabilelor de fracții algebrice nu este definit?
5. Ce condiții trebuie să îndeplinească domeniul de fracții algebrice?
6. Cum de a găsi domeniul fracțiilor algebrice, în cazul în care acest domeniu nu este pe listă?
7. Formulați o proprietate de bază a fracțiilor algebrice.
8. Ceea ce se numește reducerea fracțiilor algebrice?
9. Ce ar trebui făcut pentru a reduce fracția algebrică, dacă este posibil?
exerciţii
1. Atunci când orice valori variabile definite fracții algebrice:
a) b); c); ;
d) d); e); g); ?
2. Se taie fracțiile algebrice:
a) b); c); g); ;
d) e); g); .
3. Indicați dacă orice valori ale variabilelor fracției inițiale este fracția, care se obține după reducere.
Se taie fracțiile algebrice:
a) b); c); ;
d) d); e); g); .
4. Se taie fracțiile algebrice:
a) b); c); ;
d) d); e); .
Răspunsuri și îndrumare pentru a rezolva cele mai dificile sarcini.
c) În cazul în care, atunci această fracțiune nu are nici un sens, așa. Reducerea numărătorul și numitorul și termeni similari obținem expresia. Dacă vom introduce o nouă variabilă, rezultatul este un fel de fracții algebrice. Rădăcinile ecuației sunt numerele și, prin urmare. Deci, aveți posibilitatea să taie doar un factor numeric.
g) la toate, și astfel încât.
e)
și pentru toate astfel încât.
e) pentru toate acestea și că.