Estimarea Interval, platforma de conținut

estimarea intervalului

Intervalul de încredere și probabilitatea

Evaluarea parametrului de distribuție este o valoare aproximativă, astfel încât să-l utilizați trebuie să știți eroarea de apreciere, care este, limitele și intervalul în care valoarea reală a parametrului estimat. Deoarece aceste limite pot fi stabilite numai pe baza rezultatelor experimentale aleatorii, ele sunt, de asemenea, variabile aleatoare. Prin urmare, nu trebuie să specificați doar intervalul, dar indică și fiabilitatea acestui interval, este posibil ca valoarea reală se va afla în intervalul. Trebuie remarcat faptul că o mai mare încredere că parametrul aparține intervalului, atunci mai mult întârziere. Deci, uita-te pentru intervalul, care aparține cu probabilitatea 1 este lipsită de sens - o întreagă gamă de posibile valori ale parametrilor.

Definiția. Interval conținând parametru necunoscut, cu o anumită probabilitate, menționată ca un interval de încredere de probabilitate de încredere corespunzătoare. Asta este, în cazul în care atunci - interval de încredere, și - nivel de încredere.

Notă 1. Deoarece limitele intervalului sunt aleatoare, mai degrabă decât să stabilească, în mod tipic spun „interval se referă la parametrul“ și nu „conținută în interval.“

Notă 2. În cazul distribuțiilor discrete egalitatea exactă nu este posibilă pentru toate valorile, în acest caz, un interval de încredere corespunzător probabilității se referă la intervalul satisface.

Definiția. Intervalul se numește intervalul de încredere asimptotică pentru parametrul corespunzător probabilității de încredere, în cazul în care.

Numărul este numit nivelul de semnificație. determină probabilitatea ca intervalul de încredere este estimat va acoperi setarea. Nivelul de semnificație este aproape imposibil de evenimente separate de posibil. Valoarea specifică (sau) depinde de mărimea eșantionului și natura problemei fiind rezolvată. De obicei.

Principiul general de construire a intervalelor de încredere este după cum urmează:

1) Găsim statistici care depinde de un parametru necunoscut, în care legea de distribuție este cunoscută (sau depinde). Mai mult decât atât, este necesar ca statisticile au fost relativ reversibile.

2) Găsiți cuantumul și distribuirea statisticilor astfel încât. Rețineți că există infinit de multe perechi de numere întregi pentru care. De obicei, selectată nivelurile de distribuție cuantila și statistici respectiv. Să ne amintim că o valoare cuantila ordine aleatorie este valoarea pentru care. (A se vedea. Fig.)

3) Permiterea inegalitatea relativă, descoperim limitele intervalului de încredere.

În mod similar, există, de asemenea, un interval de încredere asimptotică, cu singura diferență fiind că, în prima etapă sunt Actul de Statistică, care are ca scop distribuirea bine-cunoscut faptul că legea nu depinde de parametrul.

Intervalul de încredere pentru așteptarea valorii normale, cu o deviație standard cunoscută.

Să proba obținută dintr-o populație generală normală, cu o deviație standard cunoscută. Necesar pentru a construi un interval de încredere pentru parametrul corespunzător nivelului de încredere.

Deoarece fiecare din cantitățile distribuite conform legii, atunci proba medie și distribuită în mod normal, cu parametri. Apoi.

Localizați și pentru cine. Având în vedere că distribuția este simetrică, este rezonabil să se ia, în cazul în care - cuantila a distribuției ordinului (Figura). apoi:

Nota1. În cazul în care pentru a găsi cuantile folosit funcția Laplace, ar trebui să utilizați raportul :.

Exemplu. Găsiți intervalul de încredere pentru așteptarea unei variabile aleatoare normale, cu fiabilitate în cazul în care ,.

Decizie. Avem - o variabilă aleatoare normală, cu un cunoscut. Necesar pentru a construi un interval de încredere pentru așteptarea acestei cantități, care este, pentru parametrul. Conform tabelelor de funcții Laplace găsim pentru asta. În consecință ,. Astfel, cu probabilitatea:

Nota 2. Dacă valoarea nu este cunoscută, cu ajutorul statisticilor este imposibil de a construi un interval de încredere exactă pentru o variabilă aleatoare normală. Cu toate acestea, pentru dimensiuni mari poate fi înlocuită cu o estimare consistentă) (sau) construirea de statistici. Din moment ce, atunci, este posibil să se utilizeze statisticile pentru construirea parametrului ADI. Apoi, în cazul în care, - distribuția quantile: și intervalul dorit are forma :.

Mai mult decât atât, din moment ce, în conformitate cu teorema limită centrală, amploarea asimptotic normale distribuite pentru orice variabilă aleatoare cu variație medie și finit. la mare, această valoare poate fi utilizată pentru construirea intervalului asimptotic de siguranță pentru așteptarea la oricare din legea de distribuție. În cazul în care cantitatea necunoscută, pentru mare poate fi înlocuit sau estimatori consistente.

Nota 3. Funcția nu este potrivit pentru construirea unui interval de încredere pentru variabila aleatoare normală cu un parametru cunoscut si necunoscut mai ales un. Într-adevăr, permițând inegalitatea în ceea ce privește, obținem (furnizat) - un interval de încredere fără sfârșit.

interval de încredere asimptotică pentru parametrul L al distribuției Poisson

Să proba obținută dintr-o populație de variabile aleatoare distribuite în funcție de distribuția Poisson cu parametrul necunoscut. Necesar pentru a construi un interval de încredere pentru parametrul corespunzător nivelului de încredere.

Luați în considerare statisticile. În conformitate cu CLT la. Să nivelul distribuției quantile (), atunci:

Cu toate acestea, pentru a rezolva inegalitatea este relativ simplu, din cauza rădăcinii la numitor. Să încercăm să-l înlocuiască în numitorul pe o estimare consistentă a acestui parametru prin construirea de statistici. Aceasta nu schimbă cu natura de convergență? Să ne amintim proprietatea de convergență în distribuție, dacă și, atunci. Apoi:., Asta este de a ..

Astfel, nivelul dorit al intervalului asimptotic de este dată de:

interval de încredere asimptotic pentru un parametru al distribuției exponențiale

Să proba obținută dintr-o populație de variabile aleatoare distribuite exponential cu un parametru necunoscut. Necesar pentru a construi un interval de încredere pentru parametrul corespunzător nivelului de încredere.

Luați în considerare statisticile. În conformitate cu CLT la. Să nivelul distribuției quantile (), atunci:

Astfel, nivelul dorit al intervalului asimptotic de este dată de:

Distribuția normală asociată cu

Noi pune problema: construi CI exact pentru parametrii normali de distribuție.

Parametrul cu un cunoscut - deja construit - (3.1). Pentru parametrul necunoscut. Pentru setarea unui cunoscut. Pentru parametrul necunoscut.

Pentru a construi statisticile corespunzătoare, ia în considerare numărul de distribuții legate de normal.

Gamma distribuție și proprietățile sale.

Definiția. O variabilă aleatoare are o distribuție gamma, în cazul în care, în cazul în care funcția sa de densitate este:

Aici - funcția gamma. ,,.

Găsim funcția caracteristică:

Utilizarea funcției de caracteristică pentru a găsi cu ușurință așteptările și variația distribuției gamma:

1. Proprietatea are o distribuție exponențială cu parametrul.

Într-adevăr, în cazul în care, atunci - este densitatea variabilei aleatoare, distribuite exponential cu parametrul.

Proprietatea 2. În cazul în care, atunci.

Dovada. Să ne găsim funcția de distribuție:

3. În cazul în care proprietatea este independentă și apoi.

Dovada. În funcție de caracteristica de proprietate

- că este, funcția caracteristică, distribuite de.

4. În cazul în care proprietatea sunt independente și au o distribuție normală standard, atunci.

Dovada. Rezultă din proprietățile 2 și 3.

Distribuția „chi-pătrat“

Definiția. Distribuția sumei pătratelor variabile aleatoare normale standard independent se numește distribuția „chi-pătrat“, cu grade de libertate și medie. (Variabila foarte aleatoare este, de asemenea, adesea menționată).

Conform acestei definiții, și proprietatea 4 în secțiunea anterioară - există o distribuție gamma. În consecință, densitatea distribuției:

și principalele caracteristici numerice, modul de distribuție, atunci când egal.

Graficele ale densității de probabilitate pentru diferite grade de libertate sunt prezentate în Figura

În cazul în care variabilele aleatoare și independente, și, evident, suma acestora.

distribuția Student,

Definiția. Să - o variabilă aleatoare distribuită conform legii, și - independent de ea o variabilă aleatoare distribuită în conformitate cu chi-pătrat cu grade de libertate. Apoi, distribuția

Se numește distribuție Student cu grade de libertate și medie.

densitate de distribuție Student:

Caracteristici numerice :. Student distribuție simetric în raport.

Conversia probelor normale. Lema Fisher

Teorema 1 (v vectorul normal de transformare ortogonală). Să - vector aleator, ale cărei coordonate sunt independente și au o distribuție normală standard, iar în cazul în care - ordinea matricei ortogonale (adică ..). Apoi, coordonatele vectorului sunt independente și au distribuția normală standard.

Dovada. Scriem distribuția densității vectorului. Deoarece variabilele sunt independente și au o distribuție normală standard, atunci:

Pentru a înregistra distribuția densității vectorului, se folosește formula de densitate cu o transformare liniară a unui vector: dacă, atunci. Apoi, având în vedere faptul că obținem:

Dar multiplicarea unui vector printr-o matrice de vectori ortogonali nu schimbă regulile, într-adevăr :.

Prin urmare, m. F. Valorile precum și valori independente și au o distribuție normală standard.

Teorema 2 (Fischer Lema). Să - prelevarea de probe din și în cazul în care - matricea ortogonală de ordine. Apoi, pentru orice statistici distribuite prin lege și nu depinde.

Dovada. De atunci (vezi. Demonstrația teoremei precedente). Apoi.

Consecința principală a Lema Fisher

Să presupunem că sunt independente și au o distribuție normală ,. apoi:

4. și independentă;

1. sa dovedit anterior.

2. Deoarece cantitățile, cantitatea.

3. Luați în considerare statisticile.

Introducem valorile normale standard și exprimate în termeni de: în cazul în care. Este posibil să presupunem inițial că valorile au o distribuție normală standard. Încearcă să se aplice la Lema Fisher, acest lucru poate fi reprezentat ca: unde.

Ne arată că există o matrice ortogonală, astfel încât vectorul va avea coordonatele. Ia primul rând al liniei matricei. Apoi. Deoarece norma rândului (lungime vector) este egal cu 1, atunci această linie poate întotdeauna fi completat într-o matrice ortogonala (rânduri și coloane de o matrice ortogonala - au vector ortonormal).

Apoi, în conformitate cu statistica Lema Fisher are o distribuție chi-pătrat cu grade de libertate.

4. În conformitate cu statisticile lema Fisher și

valoarea independentă, atunci există, de asemenea, independente.

5. Transformarea. valoare și

valoare, și corolar 4, aceste variabile sunt independente. În consecință ,.

Intervalele exacte de încredere pentru parametrii distribuției normale

1. Pentru un parametru cu un cunoscut.

Cu probabilitate: în cazul în care - cuantila stratului de distribuție standard normală.

2. Pentru setarea necunoscut.

Din corolarul Lema 5 Fischer, având în vedere simetria distribuției Student, cu o probabilitate obținem:

în cazul în care - cuantila nivelului de distribuție Student. Rețineți că cuantila coeficientului de distribuție Student se numește nivelul studentului.

3. Pentru un parametru în necunoscut.

Corolar probabilitate 2 Lema Fischer obține

în cazul în care - distributie Quantum chi-pătrat cu grade de libertate și niveluri, respectiv.

4. Pentru parametrul necunoscut.

Din Lema 3 investigații de probabilitate Fischer obținem

în cazul în care - distributie Quantum chi-pătrat cu grade de libertate și niveluri, respectiv.

Exemplul 1: găsiți intervalul de încredere pentru valoarea de dispersie normală cu fiabilitate dacă.

Decizie. Conform tabelului de distribuție pentru grade de libertate, vom găsi nivele și distribuție quantile :. Prin urmare, intervalul de încredere:

Exemplul 2. Găsiți intervalul de încredere pentru așteptarea unei variabile aleatoare cu fiabilitate normală în cazul în care ,.

Decizie. Tabelele de distribuție Student pentru grade de libertate, găsiți nivelul coeficientul Student :. Astfel, cu probabilitatea: