ecuații Diofantine - l
- algebrică. ecuații algebrice sau sisteme. ecuații cu coeficienți raționali și soluții la-ryh se găsesc în numere întregi sau raționale. Se presupune că, de obicei, ecuațiile diferențiale. Ei au un număr de necunoscute, depășind numărul de ecuații, în legătură cu care au fost numite. ecuații ca nedeterminate. Conceptul de ecuații diferențiale. în matematică modernă este adesea menționată ca algebrică. ecuații, se găsesc soluții la ryh între numere întregi algebrice. numere de orice algebrică. extinderea domeniului numerelor raționale Q, între numărul p-adice, și m. p.
Investigarea ecuații diferențiale. Aceasta se referă la zona de granita dintre teoria numerelor și algebrice. geometrie (vezi. geometria Diophantine).
soluții de ecuații în numere întregi este una dintre cele mai vechi matematice. sarcini. La începutul doilea mileniu î.Hr.. e. Babilonienii au fost capabili să rezolve sisteme de ecuații cu două necunoscute. Cea mai mare înflorire a acestei zone de matematică a ajuns în Grecia antică. Principala sursă pentru noi este „aritmetică“ Diophant (probabil 3 c. Î.Hr. E.), care conțin diferite tipuri de ecuații și sisteme. Acesta Diophant (dupa numele acestuia - denumirea „D. în“) anticipează o serie de metode pentru a studia ecuațiile 2 și grade 3, cu excepția cazului în secolul al 19-lea. (A se vedea paragraful. [1]). Crearea Invatatii greci ai teoriei numerelor raționale a condus la luarea în considerare a soluțiilor raționale de ecuații nedeterminate. Acest punct de vedere este susținut în mod constant în cartea Diophant. Deși activitatea Diophant conține adresa de numai ecuații diferențiale specifice. dar există motive să credem că el poseda unele tehnici comune.
Investigarea ecuații diferențiale. Acesta este de obicei asociat cu mari dificultăți. Mai mult decât atât, puteți specifica în mod explicit polinomul
cu coeficienți întregi, astfel încât nu există nici un algoritm care permite orice întreg huznavat dacă ecuația este rezolvabilă
în ceea ce privește y 1 y (a se vedea. Diophantine Ecuații problema solvabilitatii). Exemple de astfel de polinoame pot fi scrise în mod explicit. Pentru ei, este imposibil să se dea o descriere exhaustivă a soluțiilor (dacă este luat teza lui Church).
unde a și b - întregi relativ prime, are infinit mai multe soluții (dacă x 0 și y 0 - soluție, apoi numerele x = x + bp 0, y = 0 - O, unde n este orice număr întreg, de asemenea, va fi soluții) . Un alt exemplu de ecuații diferențiale. este
soluții pozitive integrale ale ecuației reprezintă lungimea picioarelor x, y și z ipotenuzei triunghiuri drepte cu lungimi întregi și numite partide. Numere pitagoreice. Toate tripletele sunt numere pitagoreice relativ prime pot fi obținute din următoarele formule:
unde ti n - numere prime între ele (m> n> 0). Diophant în Op. „Aritmetică“ implicate în găsirea rațional (nu neapărat integral) fac tipuri speciale de ecuații diferențiale. Teoria generală a ecuațiilor diferențiale. Prima clasa a fost creată în secolul al 17-lea. K. G. Bashe (S. G. Bachet); decizia sistemelor DA au. Detalii prima clasa, a se vedea. Articolul de ecuații liniare. La începutul secolului al 19-lea. lucrari Fermat (P. Fermat), J. Wallis (J. Wallis), Euler (L. Euler), Lagrange (J. Lagrange) și Gauss (S. Gauss) a fost studiat in principal D . y. specie
unde a, b, c, d, e, f - întregi, adică ecuația generală neomogen de gradul 2 cu două necunoscute ... Cu fracții continue Lagrange a studiat ecuațiile generale diferențiale neomogene. Gradul 2 cu două necunoscute. Gauss construit o teorie generală a formelor pătratice, care este baza pentru decizia anumitor tipuri
În studiile D.. de mai sus gradul 2, cu două necunoscute au fost realizate progrese semnificative numai în secolul al 20-lea. Thue (A. T1she) a constatat că ecuațiile diferențiale.
în cazul în care A0. 1. a n c -. Numere întregi și a0 polinom t n + a1 t n-1 +. + Și n este ireductibil în domeniul numerelor raționale, nu poate avea un număr infinit de soluții întregi. Cu toate acestea, metoda Thue face imposibilă calcularea oricăror frontiere decizii, nici numărul de soluții. A. Baker (A. Baker) a primit Teoremele efective despre limitele unor soluții ale acestor ecuații. B. N. Delone a creat o metodă diferită de cercetare, care acoperă o clasă mai restrânsă de ecuații diferențiale. dar vă permite să definiți limitele numărului de soluții. În particular, metoda lui este complet rezolvată ecuații diferențiale. specie
Există mai multe zone din teoria DA. Astfel, binecunoscuta problema teoriei ecuațiilor diferențiale. Este problema Farm - ipoteza nici pentru n> 3 soluții netriviale de ecuații diferențiale.
Studiul soluțiilor întregi ale ecuației (1) este o generalizare naturală a problemei triplete pitagoreice. Farm soluție pozitivă pentru n = 4 obținut prin Euler. Cu acest rezultat, problema se reduce la demonstrarea lipsei de soluții întregi nenule ale ecuației (1) pentru un prim impar p Fermat. Investigare completă a soluțiilor ecuației (1) nu a fost finalizată (1978). Dificultăți în decizia sa, legată de lipsa de unicitate a factorizării în inelul de algebrice. numere. Teoria împărțitor în inele de numere întregi algebrice. Numerele face posibilă stabilirea validității teoremei lui pentru mai multe clase de exponenți de prim n.
Inele aritmetică algebrică. număr este, de asemenea, utilizat într-o serie de alte sarcini la DA. Deci de ex. metodele sale studiate în detaliu forma ecuației
unde N (a) - regula algebric. numărul a, numere întregi raționale și se găsesc x L. x 2. x n, satisfac ecuația (2). Ecuațiile din această clasă includ, în particular, ecuația Pell x 2 -dy 2 = l. În funcție de valorile a1. o. în (2), aceste ecuații sunt împărțite în două tipuri. Primul tip - așa-numitul. forme complet - sunt cele ale ecuației, y k-ai exista între ryh tlineyno numere independente peste domeniul numerelor raționale Q, unde m = [Q (a1-o.): Q] - gradul câmp algebric. Numerele Q (a1. o) peste Q. Prin formele incomplete includ forme în k-ryh numărul maxim de ai liniar independente mai puțin. Cazul de formulare complete mai ușor și practic cercetarea sa adus la capăt. Este posibil, de exemplu. pentru orice formă completă pentru a descrie toate deciziile sale (a se vedea. [2], Ch. 2).
Al doilea tip - așa-numitul. forme incomplete, este mai dificil, iar teoria este departe de a fi completă (1978). In studiul unor astfel de ecuații sunt utilizate aproximări Diofantine. Ecuațiile de acest tip se referă ecuație
unde F (x, y) - un polinom omogen ireductibilă grad. Această ecuație poate fi scrisă ca
unde ai - toate rădăcinile polinomului F (z, l) = 0. Existența secvențelor infinite de soluții ale ecuației (3) ar avea ca rezultat relațiile formei
pentru orice aj. Fără a pierde din generalitate, putem presupune că, prin urmare, pentru suficient de mare i, inegalitatea (4) va contrazice Thue - Siegel - Rota teorema, de unde rezultă că ecuația F (x, y) = C unde F- formă ireductibilă de grad mai mare sau egal cu 3 nu poate avea un număr infinit de soluții.
Formularul (2) ecuației sunt clasa destul de îngust al tuturor ecuații diferențiale. Ex. în ciuda formei simple. ecuație
care nu sunt incluse în această clasă. Investigarea soluțiilor de a doua dintre aceste ecuații se referă la relativ bine studiată secțiunea D. Reprezentarea u.- numerelor de forme pătratice. stări teorema lui Lagrange ecuația de solubilitate (6) pentru orice tip N. Suma de trei pătrate reprezintă orice număr natural. altele decât cele 4 numere de forma a (8k-1), unde ai, k, - nenegative (teorema Gauss). Criteriile cunoscute pentru existența unor soluții raționale sau întregi de ecuații ale formei
unde F (x1, x 2 x n.) - forma pătratică cu coeficienți întregi. Astfel, teorema lui Minkowski - Hasse afirmă că ecuația
în cazul în care aij și b sunt raționale, permite o soluție rațională dacă și numai dacă este solubil în numere reale, și în număr-p-adice pentru fiecare număr prim p.
Reprezentarea numerelor arbitrare forme de gradul al treilea și forme de grade mai mari studiate pentru mai puțin de NZ-apar aici este adesea principalele dificultăți. Una dintre principalele metode pentru a studia reprezentarea numerelor formează un grad mai mare de metoda sumelor trigonometrice. Această metodă constă în intrarea explicită prin Fourier număr întreg de soluții, și apoi folosind metoda cercului se realizează, în fapt, expresia soluțiilor termenilor corespunzătoare numărului de soluții comparații. Metoda de cantități mai mici decât trigonometrice alte metode depind de specificul ecuații algebrice.
Există un număr de ecuații diferențiale specifice. rezolvate prin metode elementare (a se vedea. [5]).
Lit. [1] Vinogradov I. M. Fundamentele teoriei numerelor, 8-a ediție. M. 1972 [2] Borevich Z.
Enciclopedia de Matematică. - M. sovietic Enciclopedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Vezi ce „ecuație Diophantine“ în alte dicționare:
ecuația Diophantine - ecuații sau sisteme cu coeficienți întregi, cu numărul de necunoscute algebrice, depășind numărul de ecuații, și care au căutat întregi sau decizii raționale ... Collegiate Dicționar
ecuația Diophantine - ecuații algebrice sau sisteme cu coeficienți întregi, cu numărul de necunoscute, depășind numărul de ecuații, și care au căutat întregi sau decizii raționale. * * * Ecuații Diophantine ecuația Diofantine, algebrică ... ... Collegiate dicționar
ecuații Diofantine - (denumite după matematicianul grec Diophant) ecuație algebrică sau a unui sistem de ecuații algebrice cu coeficienți întregi, cu numărul de necunoscute, depășind numărul de ecuații, și a cărui întreagă căutat sau ... ... Marea Enciclopedie sovietică
Diophantine ecuație - algebra. ur Niya sau sistemele cu coeficienți întregi. cu numărul de necunoscute, depășind numărul de ur remarcat, și au căutat să ryh întregi sau decizii raționale. Numit după Diophant din Alexandria ... natural. Dicționar Collegiate
Diophantine problemă aditiv de tip - ecuațiile Diofantine pentru ryh la sarcina de a găsi soluții întregi și secară pot fi simultan privite ca probleme de aditiv, adică, ca problema împărțirii n întreg (arbitrar sau subordonat suplimentar ... ... Enciclopedia de matematică ..
Diophantine aproximare - teoria numărul secțiunii într-o aproximație de rom studiat zero valori ale funcțiilor unui număr finit de argumente întregi. D. inițială sarcină n. Pe aproximări raționale la numere reale, dar teoria evoluției a dus la probleme în enciclopedie matematică ...
ECUAȚIE - Ecuația este un raport matematic care exprimă egalitatea a două expresii algebrice. În cazul în care are loc egalitate pentru orice valori admisibile ale necunoscute sale constitutive, aceasta se numește o identitate; de exemplu, relația de forma ... ... Enciclopedia Collier
Diophantine aproximare - a teoriei numerelor, studiind aproximarea numerelor reale prin numere raționale, sau, într-o înțelegere mai largă a subiectului, problemele legate de decizia în numere întregi de inegalități neliniare și sisteme de inegalități cu ... ... Marea Enciclopedie sovietică liniară și
- Diophant și Diofantine ecuații. Această carte se ocupă cu metodele alexandrianului matematician Diophant pentru rezolvarea ecuațiilor de ordinul a doua și a treia numere raționale și istoria lor nedeterminată. De-a lungul ... Citește mai mult Vand pentru 285 de ruble
- Diophant și Diofantine ecuații. Problema numărul 107. Bashmakova IG Această carte se ocupă cu metodele alexandrianului matematician Diophant pentru rezolvarea ecuațiilor de ordinul a doua și a treia numere raționale și istoria lor nedeterminată. De-a lungul ... Citește mai mult Vand pentru 232 de ruble
- Diophant și Diofantine ecuații. Problema 107. Bashmakova IG Această carte se ocupă cu metodele alexandrianului matematician Diophant pentru rezolvarea ecuațiilor de ordinul a doua și a treia numere raționale și istoria lor nedeterminată. De-a lungul ... Citește mai mult Vand pentru 211 UAH (Ucraina numai)