ecuații algebrice Math și inegalitățile

Ecuațiile algebrice și inegalitățile

Următoarele întrebări adecvate pentru a aloca o parte a acestei secțiuni.

Soluția de ecuații raționale.

Soluția inegalităților raționale.

Ecuațiile raționale și inegalitățile cu module.

Soluția inegalităților raționale.

ecuații și inegalități. Irrational

Soluția de ecuații raționale

O parte din dificultatea cu decizia de ecuații raționale din cauza solicitanților în această decizie, așa cum se spune „cap“, conform algoritmului metodei de factoring:

unde A (x), B (x) - expresii raționale arbitrare;

P (x), Q (x) - polinoame

Aceasta duce la greoaie „de rutină“ transformări sau la necesitatea de a găsi rădăcinile de polinoame de grad mai mare decât al doilea. Și nu e destul de problemă „școală“. În acest caz, chiar și în cazurile cele mai evidente, reclamantele nu se aplică metoda de a introduce o nouă variabilă. Dar, introducerea unei noi variabile, puteți simplifica rapid rezolva ecuații. Aceasta este o tehnică puternică, trebuie înțeles și aplicat.

Introducerea unei noi variabile se efectuează atunci când ecuația rezolvată poate fi reprezentat sub forma f (g (x)) = 0. Presupunând că g (x) = t. am ajuns la soluția sistemului:

Dacă ecuația f (t) = 0, g (x) = t1. g (x) = t2, ..., g (x) = tn. în cazul în care T1. t2, ..., tn - rădăcinile ecuației f (t) = 0 este mai ușor ecuația inițială, metoda ca sarcină declarată.

Luați în considerare diferite ecuații raționale, pentru care o metodă foarte utilă pentru introducerea unei noi variabile, dar nu sunt evidente atunci când ecuația originală direct cu forma f (g (x)) = 0. Căutare substituție reușită g (x) = t și lucrarea specială pentru a aduce ecuația originală media specificată, este principala parte esențială a ecuației soluție. Soluția ecuației f (t) = 0 și setul de ecuații g (x) = ti - relativ simplu, partea tehnică a soluțiilor de proces ale ecuației.

Soluția de ecuații raționale sunt adesea reduse la soluția ecuațiilor pătratice obișnuite, dar sub rezerva limitărilor privind valorile admisibile ale necunoscut. În special, acestea sunt excluse din valorile TCC ale lui x. în care cel puțin unul dintre numitor în ecuație, este egal cu 0.

Etapele de soluții raționale ale ecuației.

Determinarea TCC (nici unul numitorul nu poate fi zero).

Găsiți cel mai mic numitor comun al tuturor fracțiunilor.

Inmultiti ecuația de numitor și rezolvă ecuația integrală rezultată.

Includeți ca răspuns la numai rădăcinile, care sunt incluse în DHS.

Soluția inegalităților raționale

Pentru rezolvarea inegalităților raționale sunt folosite intervale de așa-numita metodă. Practica examenelor de admitere în matematică arată că reclamantele nu sunt întotdeauna utilizați corect această metodă pentru a înțelege esența și specificitatea acesteia. Acest lucru se datorează în mare parte faptului că în literatura de specialitate, există abordări diferite ale metodei intervalului de prezentare nu este întotdeauna de succes. Există o confuzie cu termenii „sinteza ciudată“ a mai multor abordări. Dar algoritmul intervalului necesită rigoare și claritate.

Ne referim la metoda intervalului, ca o metodă utilizată pentru rezolvarea inegalităților raționale de tip strict definite:

Dacă această inegalitate nu se potrivește cu mintea ta, trebuie să conducă la acest tip de acestea sau alte transformări echipotente, și numai apoi se aplică metoda de intervale. Noi numim soluțiile standard de inegalitate tipul celui specificat pentru intervalele metoda.

Vom introduce mai multe doi termeni. Să - un factor în inegalitatea, metoda standard pentru rezolvarea intervale. În cazul în care exponentul # 945; i - un număr impar, atunci punctul x = xi va fi numit simplu. În cazul în care exponentul # 945; i - un număr par, atunci punctul x = xi va fi numit un dublu.

acum Afirmăm intervalele metoda algoritmului.

Să se dea o inegalitate, metoda standard pentru rezolvarea intervale. Pentru decizia sa:

1) nota cu privire la punctele de linie numărul de numere x1 corespunzătoare. x2. x3, ..., xn. rupând astfel întreaga linie reală la intervale (intervale); în care dacă semn strict inegalitate, punctele marcate PANÃ dacă semn inegalitatea lax, punctele marcate cu solid;

2) pe fiecare dintre perioadele de exprimare obținute vor păstra amprenta permanentă; atribuie mărcile folosind regula alternanței semnelor:

a) în intervalul întotdeauna extrema dreaptă „plus“ semn;

b) la punctul de tranziție printr-un simplu semn schimbari, opusul;

c) la punctul de trecere printr-un semn dublu este păstrată;

3) după caracterele tuturor golurilor definite cu modelul rezultat este citit inegalitățile de decizie; răspuns este înregistrată ca o combinație de intervale.

Metoda interval poate fi aplicat pentru a rezolva inegalitățile raționale fracționare, dacă folosim echivalentul:

Metoda de bază a deciziilor raționale (și multe altele) inegalități - metoda intervalului. Pentru a utiliza aceasta, aveți nevoie pentru a converti inegalitatea, astfel încât partea din dreapta a fost 0, iar pe stânga a fost produs de mai mulți factori, sau o fracție, numărătorul și numitorul care este luat. Apoi rădăcinile fiecărui factor (de exemplu, din soluția inegalității trece la soluția de ecuații), iar printre acestea sunt cele în care nici unul dintre factorii disponibile nu se schimbă semnul, sau un semn de schimbare chiar și numărul de factori. În viitor, astfel de rădăcini, în cazul în care acestea există, vor fi numite multiple (deși acest lucru nu este în întregime corecte). Pentru decizia finală rămâne cauza inegalității găsit în rădăcinile liniei reale, găsiți semnul partea stângă numai pe un interval limitat de punctele de date, și semne loc la alte intervale, schimbându-le atunci când trece printr-o rădăcină simplă și nu schimbă atunci când trece prin santul.

Ecuațiile raționale și inegalitățile cu module

ecuații și inegalități raționale în activitatea EGE de multe ori „module complicate.“ Ecuații și inegalități care conțin variabile sub semnul modulului nu este inclus în mod explicit în programa școlară în matematică, de multe ori oferite de profesori ca un locuri de muncă de mare complexitate. Ca urmare, provocând teama solicitanților și cutremur, mulți solicitanți de locuri de muncă sunt pur și simplu ignorate, deși acestea ar putea fi ușor. Pentru a face acest lucru, nu atât de mult:

1) să știe în mod clar definiția modulului;

2) Soluțiile de recepție este astfel ecuații și inegalități înțelese, pe baza dezvăluirii tuturor modulelor simultan (și, exemple specifice destul de aici);

3) să-și amintească metoda de a introduce o nouă variabilă.

Rezolvarea ecuații și inegalități ce conțin variabile sub semnul modulului, bazat pe definirea modulului:

Modulele incluse în ecuația sau inegalitatea este dezvăluită pentru identificarea și în continuare a rezolvat ecuații și inegalități, care nu conțin modul. Rețineți că solicitanții de multe ori în loc de egalitate, de mai sus, se aplică egalitatea:

Se înțelege că acesta nu este valabil numai în cazul f (x) = x. În general, această egalitate nu este adevărat. Ar trebui să ne amintim acest lucru și pentru a evita această greșeală comună în rândul elevilor.

Tehnica de bază a soluțiilor modulare de ecuații și inegalități - dezvăluirea modulului folosind definiția sa (| a | = o dacă ≥ 0 și | a | = -a la <0). Для этого обычно рассматривают отдельно два случая: случай, когда подмодульное выражение неотрицательно и когда оно отрицательно.

Soluția inegalităților raționale

Vreau doar să vă avertizeze împotriva celor mai frecvente greșeli: multiplicarea ambelor părți ale unui numitor comun. Dacă diferite valori ale lui x, numitorul poate schimba semnul, atunci nu poate scăpa de ea. De ce? Pentru că atunci când înmulțirea ambele părți ale inegalității printr-un număr pozitiv nu se schimba semnul inegalității, și negativ - inversat. Prin urmare, rezolvarea acestei inegalitate, ar trebui să ia în considerare nu numai semnul numărătorul, dar numitorul. Etapele de soluții de inegalități raționale pot fi descrise după cum urmează:

1) muta toate condițiile de pe partea stângă;

2) pentru a aduce partea stângă a celui mai mic numitor comun;

3) Găsiți rădăcinile numărătorul și numitorul fracției obținute; verificați dacă oricare dintre ele sunt divizibile;

4) rezolva inegalitatea de intervale bazate pe mai multe rădăcini.

Ecuațiile neraționale și inegalitățile

Dacă cvadratura încă mai trebuie să, trebuie să urmărească îndeaproape, astfel încât să nu includă rădăcini străine în răspuns. În special, în cazul în care ecuația este ceea ce condiție trebuie îndeplinită (în acest caz, și condiția nu este necesară pentru a pune separat) pentru rădăcinile. Un alt mod de a detecta rădăcini străine - pentru a scana toate substituirea găsit în rădăcinile ecuației originale.

Scoaterea paranteze la numitor, obținem ecuația:

Presupunând că x 2 + 3 + 2 = t obținem sistemul de ecuații:

Rezolvarea prima ecuație, obținem rădăcinile t1 = 2, t2 = 18. Mai mult, a doua ecuație, obținem rădăcinile ecuației inițiale.

Adăugați la numărătorul doua expresie fracție x 2 - 2 x. identic egal cu zero:

Presupunând că obținem sistemul de ecuații:

Rezolvarea prima ecuație, obținem rădăcini: t1 = -1, t2 = 2. Din a doua ecuație, obținem rădăcinile ecuației inițiale:

Presupunând că vom ajunge la sistemul de ecuații:

Să ne rezolve prima ecuație, folosind formula:

Decide ecuație biquadratic obținută, obținem t1 rădăcini, 2 = ± 1 și, respectiv: x1 = -5, x2 = -3.

Având în vedere identitatea, putem rescrie această ecuație în forma:

Presupunând că avem un sistem de ecuații:

4 t 2 + 12t - 55 = 0,

Având în rezolvat prima ecuație, obținem rădăcini :.

Din a doua ecuație obținem rădăcinile ecuației originale.

Partea stângă a ecuației reprezintă suma pătratelor. Pentru a rezolva ecuațiile, este convenabil să-l transforme într-un pătrat perfect, adăugând la ambele părți ale corespunzătoare de două ori produsul:

Presupunând că avem un sistem de ecuații:

Rezolvarea prima ecuație, obținem rădăcinile t1 = -9, t2 = 3. Mai departe, a doua ecuație, obținem rădăcinile ecuației inițiale:

Să presupunem că x 2 + x 4 + = t. Apoi, dat ecuația devine:

t 2 + 8xt + 15 x 2 = 0.

Rezolvarea acestei ecuații ca respect pătratică la t. obținem:

Acesta oferă rădăcinile ecuației originale:

Fie x0 - rădăcina ecuației. Introduce noi variabile u = 2 - X0 și x = x0 - 3. Se înțelege că termenul „variabila nouă“, în acest caz, ar fi fost aplicate în mod corect. U și v - deși necunoscută, dar valori constante pentru x0 - o constantă și nu o variabilă.

Avem un sistem de ecuații:

Având în vedere că u + v = -1, din a doua ecuație obținem:

Astfel, fie uv = 1, uv = 0, sau pentru a găsi u și v au cele două sisteme de ecuații (set de sisteme):

Primul sistem nu are soluții.

Astfel, rădăcinile ecuației inițiale: x1 = 2, x2 = 3.

Aici este această inegalitate de a forma metoda standard pentru rezolvarea intervale:

Construi o partiție a liniei reale în intervale:

Rețineți că scara în acest caz, nu este necesar pentru a se conforma, dar unele detalii de bază referitoare la nivelul culturii generale a graficii, desigur, ar trebui să fie urmat. Astfel, punctul -3 trebuie arătat mai departe de zero, decât punctul, iar distanța dintre punctele și -3 trebuie să fie semnificativ mai mică decât distanța dintre punctele și 6 etc.), marcajele de despărțire între ele, folosind regula alternanței:

Figura prezintă inegalitatea de decizie:

Eliminăm paranteze; avem:

Deoarece x 2 + x + 1> 0 pentru toate x și x 2 + 1> 0 pentru toate x. obținem inegalitatea formei, metoda standard pentru rezolvarea intervalului și este echivalentă cu inegalitatea inițială:

Construi o partiție a liniei reale în intervale și semne loc pe regula alternanței:

Astfel, soluția inegalității:

Această inegalitate este echivalentă cu sistemul:

Aici este primul sistem de inegalitate la forma, metoda standard pentru rezolvarea intervale:

Construi o partiție a liniei reale în intervale, ținând seama de a doua inegalitatea, adică, faptul că x ≠ 3, x ≠ 7, x ≠ ± 4, și plasați semne pe regula alternanței:

contribuie în mod semnificativ la înțelegerea esenței metodei de intervale de timp și, prin urmare, o mai bună utilizare a exercițiilor sale privind construcția inegalităților de către asociații intervale specificate - deciziile lor. Să considerăm un exemplu.

Formează inegalitatea a cărei soluție (-∞, -10) U [-7, -4] U (-4, 2) U U [11, + ∞].

În primul rând, observăm toate punctele de pe linia de numărul:

Acum selectați aleatoriu plăcile sunt inegalitatea (este clar că marca inegalitate strictă, la fel ca în figura noastră are puncte solide) și în conformitate cu soluția semnelor de inegalitate dotting. Deci, lăsați semnul ≥ noastre inegalitate, atunci avem:

Figura arată că punctul x = -10, -7 = x, x = 2 și x = 11 - punctul comun și punctul x = -4, x = 6 - puncte duble. În plus, deoarece cifra este și scobite și punctul solid, se ridică la inegalitate - o fracție rațională. Având în vedere aceste constatări, vom găsi, de exemplu:

sau, dacă vă înmulțiți paranteze:

Noi rezolva sistemul de inegalități:

Noi rezolva fiecare sistem de inegalități.

Soluția primei inegalitate:

Solutia a doua inegalitate:

Acum vom găsi intersecția soluții inegalități. Pentru a face acest lucru pe o singură linie număr descriu ambele soluții, observând hasurate cu pante diferite. Intersecția dorită a face intervale clare vor fi dublu hașurarea:

Sistemul de decizie a inegalităților:

Vom rezolva o dublă inegalitate.

Este clar că vorbim despre decizia sistemului de inegalități:

Noi rezolva fiecare sistem de inegalități.

Soluția primei inegalitate:

Solutia a doua inegalitate:

TCC este dată de condiția. Scriem ecuația în forma:

(Root primei ecuația x = 0 nu satisface a doua condiție). Deci, numai rădăcina ecuației inițiale - x = 11.

Să ne amintim proprietățile inegalități: în cazul în care ambele părți ale inegalității sunt nenegative, atunci Cuadratura semnul inegalității nu este schimbat; Dacă negativ, semnul este inversat; în cazul în care părțile laterale stânga și dreapta au semne diferite, operația Cuadratura este incorectă.

Această expresie radicală inegalitate, desigur, trebuie să fie non-negativ. În plus, valorile partea dreapta a cel puțin rădăcina pătrată, adică pentru a face partea din dreapta a inegalității poate fi pozitiv sau zero, numai. În aceste condiții, avem dreptul de a ridica ambele părți ale unei plăci de pătrat cu păstrarea inegalității:

făcând intersecția poate fi scrisă ca: x ≥ 22.

În această inegalitate, spre deosebire de cea anterioară, pe partea dreapta si poate fi setat pentru a avea semne diferite. Luați în considerare separat aceste cazuri.

Cazul 1. În cazul în care condițiile inegalitatea este adevărată: într-adevăr, orice număr întreg non-negativ mai mare decât orice număr negativ. În consecință, toate soluțiile acestui sistem vor fi incluse în răspuns. Rezolvăm sistemul rezultat al inegalităților:

Cazul 2. A doua opțiune - condițiile:

Să presupunem, atunci valorile t determinat de sistemul de inegalități:

După înlocuirea feedback-ul obținem: Deoarece laturile din stânga și din dreapta ale acestei duble inegalitate sunt nenegative, putem construi toate cele trei părți ale pătrat:

Răspuns: (0; 1] U [16; 17).

În al doilea rând ,. Deoarece numărătorul pentru toate valorile admisibile ale lui x este non-negativ, numitorul trebuie să fie negativ, iar inegalitatea se reduce la sistem:

Combinând soluții rezultate, obținem răspunsul final: 1 ≤ x <4, x = 8.

Încă o dată, rețineți că, dacă nu ne-a luat în considerare în cazul egalității separat și de a rezolva un sistem de inegalități, care ar pierde soluția x = 8.