Ecuația diferențială a unei axa fasciculului curbe

Acasă | Despre noi | feedback-ul

Atunci când axa de îndoire este grinzi curbe și secțiuni transversale sunt deplasate translațional și pivotează în jurul axei neutre, fiind perpendiculară pe axa longitudinală curbată (fig. 8.22). Deformată (îndoit), axa longitudinală a grinzii se numește o linie elastică și mișcarea de translație a secțiunilor transversale de deplasare egală y = y (x) din centrele lor de greutate ale secțiunilor transversale - flexures grinzi.

Între deflexie y (x) și unghiurile de rotație ale secțiunilor # 952; (x) există o anumită relație. Fig. 8.22 arată că unghiul de rotație al secțiunii # 952; egal cu unghiul # 966; panta liniei elastice (# 952; și # 966; - unghiuri cu laturile perpendiculare reciproc). Dar, conform sensul geometric al primei derivate y / = tg # 952;. În consecință, tg # 952; = Tg # 966; = Y /.

În cadrul devierile de deformare elastică a grinzilor secțiune, de obicei, mult mai mică înălțime h. și unghiurile de rotire # 952; nu depășesc 0.1-0.15 rad. În acest caz, relația dintre unghiurile de deviere și de rotație este simplificată și ia forma # 952; = Y /.

Acum definim forma liniei elastice. Efectul forțelor de forfecare asupra deformatiilor Q ale grinzilor de obicei neglijabile. De aceea, cu o precizie suficientă, se poate presupune că curbura transversală de îndoire a liniei elastice depinde numai de mărimea momentului de încovoiere și rigiditatea Mz EIz (vezi ecuația (8.8).)

În același timp, în sistemul de coordonate fix, curbura liniei elastice, precum și oricare unei curbe plane,

Asimilarea laturile din dreapta a (8.26) și (8.27) și ținând seama de faptul că normele de semne și Y // Mz au fost luate în mod independent unul de celălalt, obținem

Această ecuație se numește ecuație diferențială a liniei elastice. Pentru deformări mici, al doilea termen în numitorul este mic în comparație cu unitatea (dacă # 952; = 0,1 rad (y /) 2 = 0,01) și pot fi neglijate. Rezultatul este o ecuație diferențială aproximativă a liniei elastice a grinzii

Alegerea semn în partea dreaptă (8.29) este determinată de direcția de coordonate axa y. începând din această direcție depinde de semnul derivatei a doua // y. Dacă axa este îndreptată în sus, așa cum se vede din Fig. 8.23, y // semne și Mz sunt aceleași, iar pe partea dreapta ar trebui să fie lăsată la semnul plus. În cazul în care axa este îndreptată în jos, semnele și Mz y // opus, și face să aleagă partea dreapta a semnului minus.

De notat că ecuația (8.29) este valabilă numai în perioada de valabilitate a legii lui Hooke, și numai în cazurile în care planul de acțiune al momentului de încovoiere Mz cuprinde una dintre axele principale de inerție.

Integrarea (8.29), vom găsi prima rotație unghiuri secțiuni