Din istoria ecuațiilor pătratice, platforma de conținut

Din istoria de ecuații pătratice

Algebra au apărut în legătură cu soluția diferitelor probleme folosind ecuații. De obicei, sarcinile pe care doriți să găsiți unul sau mai multe necunoscute, cunoscând rezultatele unor acțiuni desfășurate pe necunoscut și valorile datelor. Aceste probleme pot fi reduse la rezolvarea uneia sau mai multora dintre sistemul de ecuații, pentru a găsi necunoscut cu ajutorul operațiilor algebrice pe valorile datelor. În algebră, studiem proprietățile generale ale operațiunilor pe valori.

Unele metode algebrice de rezolvare liniară și ecuații pătratice au fost cunoscute de acum 4000 de ani în Babilonul antic.

ecuații pătratice în Babilon antic

În mod tipic soluții ale acestor ecuații, astfel cum este prevăzut în textele babiloniene, coincide în mod substanțial cu o modernă, dar nu se cunoaște modul în care babilonienii au venit la această regulă. Aproape toate au fost găsite până în prezent texte cuneiforme duce doar la sarcinile prezentate în formă de rețete, nici un indiciu cu privire la modul în care au fost găsite. In ciuda nivelului ridicat de dezvoltare a algebrei în Babilon, în textele cuneiforme, nu există nici un concept al unui număr negativ, precum și metode generale de rezolvare a ecuațiilor de gradul doi.

Accesând „Aritmetica“ Diophant expoziția nu sistematică de algebră, dar conține o serie sistematică de sarcini, însoțite de explicații și rezolvate folosind până ecuațiile de diferite grade.

În elaborarea ecuații Diophant pentru a simplifica soluții alege cu pricepere necunoscut.

Aici, de exemplu, una dintre sarcinile sale.

Problema 2: „Găsiți două numere știind că suma lor este de 20, iar produsul - 96“.

Diophant argumentează astfel: din condițiile problemei implică faptul că numerele solicitate nu sunt egale, ca și în cazul în care acestea au fost egale, atunci produsul lor ar fi egal nu 96, și 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mult de jumătate din suma lor, adică. . 10 + x. Alții sunt mai mici, de exemplu, 10 - .. X. Diferența dintre 2 dintre ele. De aici ecuația:

Prin urmare, x = 2. Unul dintre numerele necunoscute este de 12, iar celălalt 8. Soluția x = - 2 la Diophant nu există, așa cum matematicianul grec știa doar numere pozitive.

Dacă rezolva această problemă prin selectarea ca unul dintre numerele de necunoscut, este posibil să se ajungă la o soluție a ecuației:

În mod evident, prin selectarea ca jumătățile numere unknown unknown Diofant simplifică; este posibil de a reduce problema rezolvării unei ecuații pătratice incomplete.

ecuații pătratice din India

Provocări pentru ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul astronomice „Ariabhattiam“, compilate în 499 matematician indian și astronom Ariabhattoy. (VII. C) Un alt om de știință indian Brahmagupta, soluțiile descrise de regulă ecuațiile generale pătratice reduse la o singură formă canonică:

În ecuația (1), coeficienții pot fi negative. Brahmagupta coincide în mod tipic substanțial cu al nostru.

În India, concursuri publice în rezolvarea problemelor dificile au fost comune. Într-una dintre cele mai vechi cărți indiene spune despre astfel de evenimente, după cum urmează: „În timp ce soarele eclipsează strălucirea stelelor sale, ca un om învățat ar eclipsa faima pe piețele prin oferirea și rezolvarea problemelor algebrice.“ Sarcinile sunt adesea îmbrăcați în formă poetică.

Aceasta este una dintre sarcinile celebrului indian secolul XII matematician. Bhaskara.

„Turma maimuțe Frisky

Ecuația problemă corespunzătoare 3:

Bhaskara a scris sub masca de:

și să completeze partea stângă a acestei ecuații într-un pătrat, se adaugă la cele două părți 322, rezultând atunci:

x2 - b4h + 322 = -768 + 1024,

ecuații pătratice de al-Khwarizmi

1) "Rădăcinile pătrate sunt" m. F. = Ax2 bx.

2) "Pătratele sunt egale cu numărul" m. E. Ax2 = c.

3) "Rădăcinile sunt egale cu numărul" m. F. = Ah p.

4) "și numărul de pătrate rădăcini egale", adică. E. A = AX2 + bx.

5) "pătrate și rădăcini sunt egale cu numărul" m. E. Ax2 + bx = c.

6) "și numărul de rădăcini sunt pătrat", adică. E. Bx + c == AX2.

Sarcina 4 „pătrat din numărul 21 și 10 sunt egale cu rădăcini. Găsiți rădăcina „(adică rădăcina x2 ecuația + 21 = 10x).

Soluție: Numărul secționate de rădăcini pentru a da 5, 5 se multiplica pe sine, să ia departe de produsul 21 să rămână 4. Extract de rădăcină de 4, 2 obține 2. Ia distanță de 5 pentru a da 3, acesta va fi de dorit rădăcină. Sau se adaugă 2 până la 5, care va da 7, este, de asemenea, o rădăcină.

Treatise Al-Khwarizmi este prima carte existentă, care a stabilit sistematic clasificarea de ecuații pătratice și formule sunt date pentru a le rezolva. [3,75]

ecuații pătratice în secolul al XVII-EvropeXII.

Această carte a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice, nu numai în Italia, dar și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe dintre sarcinile din această carte a trecut secole aproape toate cărțile europene XIV-XVII. Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, reduse la o singură formă x2 canonică + bx = c pentru toate combinațiile posibile de caractere și coeficienții b, c, a fost formulată în Europa, în 1544 M. Stiefel.

Formulele concluzie pentru soluția ecuației pătratice în general, este disponibil de la Wyeth, dar Wyeth recunoscut numai rădăcini pozitive. matematician italian Tartaglia, Cardano, Bombelli printre primele din secolul al XVI-lea. să ia în considerare, în plus față de rădăcini pozitive și negative. Abia în secolul al XVII-lea. datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință o cale de a rezolva ecuații pătratice are un aspect modern. [5.12].

Originile metodelor algebrice de rezolvare a problemelor practice asociate cu știința lumii antice. După cum știm din istoria matematicii, o mare parte din natura matematică a sarcinilor asumate de egiptean, sumeriană, scribii-babiloniene rezolvitori (secolele XX-VI. Î.Hr. E.), a fost calculat de caractere. Dar, chiar și atunci din când în când au existat probleme în care valoarea dorită a anumitor condiții stabilite indirecte care necesită, din punctul nostru de vedere modern, prepararea unei ecuații sau a unui sistem de ecuații. Inițial metode aritmetice utilizate pentru a rezolva aceste probleme. În viitor, am început să se formeze rudimente de reprezentări algebrice. De exemplu, calculatoarele babiloniene capabile să rezolve problemele care sunt reduse în ceea ce privește clasificarea modernă a ecuațiilor de gradul doi. Metoda a fost creat probleme de cuvânt, care a servit ca bază suplimentară pentru alocarea unei componente algebrice și investigații independente.

Acest studiu a fost realizat deja în altă epocă primii matematicieni arabi (VI-X c. N. E.), selectați acțiunea specifică prin care ecuația se reduce la elementul de acționare similară formular standard, elementul de transfer de la o parte a ecuației în alta cu schimbarea semnului. Și apoi matematicieni europeni ai Renașterii, în căutare lung în cele din urmă a crea limbaj modern algebra, utilizarea literelor, introducerea de caractere de operații aritmetice, între paranteze, și așa mai departe. D. La rândul său, din secolele XVI-XVII. algebra ca o anumită parte a matematicii, care are ca obiect, metoda, domeniile de aplicare, au fost deja formate. Dezvoltarea sa în continuare, până la această dată, a constat în îmbunătățirea metodelor, extinderea domeniului aplicațiilor, clarificarea conceptelor și relațiile lor cu alte ramuri ale conceptelor de matematică.

Deci, având în vedere importanța și amploarea materialului asociat cu conceptul de ecuație, studiul său în metodele moderne de matematică se referă la trei domenii principale de apariția și funcționarea acestuia.

Pentru a rezolva orice ecuație pătratică, trebuie să știți:

· Gasirea formula discriminantă;

· Formula găsirea rădăcinile ecuației pătratice;

· Algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip.

· Rezolvarea ecuațiilor de gradul doi sunt incomplete;

· Tackle ecuațiile pătratice complete;

· Rezolvarea ecuațiilor pătratice date;

· Detecta erori în soluția ecuației și să le corecteze;

Fiecare soluție a ecuației este alcătuită din două părți principale:

· Transformarea acestei ecuații este cea mai simplă;

· Rezolva ecuații în conformitate cu anumite reguli, formule sau algoritmi.

Generalizarea modalitățile activității studenților în rezolvarea ecuațiilor pătratice este graduală. Putem distinge următoarele etape în studiul temei „pătratică“ ecuațiile:

Faza I - „Decizia de incomplete ecuații pătratice.“

Etapa II - „soluție totală de ecuații pătratice.“

Etapa III - „Decizia dată ecuațiilor de gradul doi.“

În prima etapă, se consideră ecuațiile pătratice incomplete. Deoarece primii matematicieni au învățat să rezolve ecuații pătratice sunt incomplete, deoarece acestea nu trebuie să facă acest lucru, așa cum se spune, nimic de a inventa. Această ecuație de forma: AX2 = 0, AX2 + c = 0, în cazul în care un ≠ 0, AX2 + bx = 0, unde b ≠ 0. Se consideră soluția de mai multe dintre aceste ecuații:

1. În cazul în care AX2 = 0. Ecuațiile de acest tip sunt rezolvate de algoritm:

De exemplu, 5x2 = 0 despartitor ambele părți ale ecuației 5 pentru a obține: x2 = 0 unde x = 0.

2. Dacă AX2 + c = 0, c ≠ 0 Ecuațiile de acest tip sunt rezolvate prin algoritmul:

1) Termenul de transfer din dreapta;

2) pentru a găsi toate numerele ale căror pătrate sunt egale cu numărul.

De exemplu, x2 - 5 = 0 Această ecuație este echivalentă cu ecuația x 2 = 5. Prin urmare, este necesar să se găsească toate numerele căror pătrate sunt egale cu numărul 5. Există doar două numere și -. Astfel, ecuația x2 - 5 = 0 are două rădăcini: x1 =. x2 = - și alte rădăcini nu sunt permise.

3. Dacă AX2 + bx = 0, b ≠ 0. Ecuațiile de acest gen sunt rezolvate prin algoritmul:

1) pentru a deplasa un factor comun din paranteze;

De exemplu, x2 - 3 = 0. Să ne rescriem ecuația x2 - 3 = 0, x (x - 3) = 0. Această ecuație are, evident, rădăcini x1 = 0, x2 = 3 nu are alte rădăcini, pentru că, dacă o x substitut are un număr de non-zero și 3, în partea stângă a ecuației x (x - 3) = 0 va număra nu este egal cu zero.

Astfel, aceste exemple arată cum să rezolve ecuații pătratice sunt incomplete:

1) Dacă ecuația este de forma AX2 = 0, are o singură rădăcină x = 0;

2) Dacă ecuația este de forma AX2 + bx = 0, atunci factorizations metodă: x (ax + b) = 0; Aceasta înseamnă că, fie x = 0 sau ax + b = 0. Rezultatul este două rădăcini: x1 = 0; x2 = -;

3) Dacă ecuația este de forma AX2 + c = 0, atunci este convertit în forma AX2 = - s si mai X2 = -. Într-un caz în care - <0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда -> 0, adică - .. = M, unde m> 0, x2 = ecuația m are două rădăcini

= = -, (în acest caz, a permis o perioadă mai scurtă = înregistrare.

Astfel, ecuația pătratică incompletă poate avea două rădăcini, o rădăcină, o singură rădăcină.

În a doua etapă, trecerea la o soluție completă de ecuația de gradul doi. Această ecuație de forma AX2 + bx + c = 0 unde a, b, c - numerele indicate și ≠ 0, x - necunoscut.

Orice ecuație pătratică completă poate fi transformată. în scopul de a determina numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice și găsesc acele rădăcini. Concider următoarele cazuri de soluții complete de ecuații pătratice: D <0, D = 0, D> 0.

1. În cazul în care D <0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

De exemplu, 2x2 + 4 + 7 = 0. Soluție: în care a = 2, b = 4, c = 7.

D = b2 - 4ac = 42 - 4 * 2 * 7 = 16 - 56 la = - 40.

Deoarece D <0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. În cazul în care D = 0, atunci ecuația pătratică AX2 + bx + c = 0 are o rădăcină care este conform formulei.

De exemplu, 4 - 20x + 25 = 0. Soluție: a = 4, b = - 20, c = 25.

D = b2 - 4ac = (-20) 2 - 4 * 4 * 25 = 400-400 = 0.

Deoarece D = 0, atunci ecuația are o radacina. Această rădăcină este formula. prin urmare,

3. Dacă D> 0, atunci ecuația pătratică AX2 + bx + c = 0 are două rădăcini, care sunt date de :; (1)

De exemplu, 3x2 + 8x - 11 = 0 Soluție: a = 3, b = 8, c = -11. D = b2 - 4ac de 82 - 3 * 4 * (- 11) = 64 + 132 = 196.

Deoarece D> 0, atunci această ecuație pătratică are două rădăcini. Aceste rădăcini sunt date de:

Compilată algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor de forma ax 2 + bx + c = 0.

1. Se calculează discriminant D conform formulei D = b2 - 4ac.

2. Dacă D <0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Dacă D = 0, atunci ecuația de gradul doi are o radacina, care este dat de

4. Dacă D> 0, atunci ecuația pătratică AX2 + bx + c = 0 are două rădăcini; .

Acest algoritm este universal, este aplicabilă atât complete și parțiale pentru ecuații pătratice. Cu toate acestea, ecuațiile pătratice incomplete, de obicei, nu rezolva acest algoritm.

Matematica - oameni practic, economic, deci utilizați formula :. (2)

Astfel, putem concluziona că ecuațiile pătratice pot fi rezolvate în detaliu, folosind regula menționat mai sus; posibil - scrie imediat formula (2) și utilizați pentru a trage concluziile necesare. [1,98].

În a treia etapă a considerat dat ecuațiile pătratice, care au forma x2 + px + q = 0 (3) unde p și q - date numerice. P - coeficientul de x și q - termen liber. Ecuația discriminant este: D = p2 - 4q. Luați în considerare trei cazuri:

1. D> 0, ecuația (3) are două rădăcini, calculate folosind Ec. (4)

2. D = 0, atunci ecuația (3) are o singură rădăcină sau ca arde, două coincidente rădăcină:

3. D <0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:

Rezultă că:

1) Dacă ecuația (3) are două rădăcini;

2) Dacă ecuația are două rădăcini coincident;

3) Dacă ecuația nu are rădăcini.

Un punct important in studiu este de a examina ecuațiile pătratice teorema Wyeth care afirmă o asociere între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice de mai sus.

Teorema vieta. Suma rădăcinilor unei ecuații pătratice este redusă la al doilea factor, luat cu semnul opus, iar produsul a rădăcinilor este egală cu termenul constant.

Cu alte cuvinte, dacă x1 și x2 - rădăcinile x2 ecuația + px + q = 0,

Aceste formule se numesc formule Vieta după matematicianul francez F. Vieta (), care a introdus un sistem de simboluri algebrice, a dezvoltat bazele algebrei elementare. El a fost unul dintre primii care au venit să se refere la numărul de litere, care a dezvoltat foarte mult teoria ecuațiilor.

De exemplu, x2 ecuația de mai sus - 7x 10 = 0 are rădăcini 2 și 5. Cantitatea de rădăcini este de 7, iar produsul este egal cu 10. Se vede că suma rădăcinilor este egal cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul a rădăcinilor este egală cu termenul constant.

De asemenea, avem o teorema, teorema inversa a Vieta.

Teorema, teorema inversa a Vieta. Dacă numerele x1, x2, p, q formulele (5), X1 și X2 - rădăcinile x2 ecuația + px + q = 0 [2,49].

Teorema lui Vieta și teorema, invers, sunt adesea folosite în rezolvarea diverselor probleme.

De exemplu. Scriem dat ecuația de gradul doi ale căror rădăcini sunt numerele 1 și -3.

Prin formulele Localitate

În consecință, ecuația dorită are forma x2 + 2x - 3 = 0.

Complexitatea dezvoltării teoremei Vieta este legată de mai mulți factori. În primul rând, trebuie să luăm în considerare diferența dintre teorema directă și inversă. În Teorema directă a Vieta dat ecuație pătratică și rădăcinile sale; în schimb - numai două numere, iar ecuația de gradul doi apare la concluzia teoremei. Elevii fac adesea greșeala de a își baza argumentele pe o referință greșită la teorema directă sau inversă a Vieta.

De exemplu, atunci când rădăcinile unei ecuații pătratice este necesar să se facă referire la selectarea teoremei Reciproca Vieta, mai degrabă decât o linie dreaptă, cum fac de multe ori elevii. Pentru a extinde teorema Vieta la cazul zero discriminantului, trebuie să fie de acord că, în acest caz, ecuația de gradul doi are două rădăcini egale. Comoditatea acestui acord apare în descompunerea factoring polinom pătratic.