Curbele de ordinul al doilea
În curs de matematică școală am studiat destul de parabole, care, prin definiție, este un polinom pătratică grafic. Aici vom da o altă definiție (geometric) al unei parabole.
Definiție 7 12. parabole este locul geometric al punctelor în plan, pentru fiecare dintre care distanța până la un punct fix al planului, denumit punct focal. egală cu distanța până la o linie dreaptă fixă situată în același plan și numit directricea unei parabole.
Corespunzător acestei definiții, introducem un sistem de coordonate adecvat pentru a obține ecuația curbei. Pentru a face acest lucru, picătură perpendicular din focalizarea la directricea. Originea este situată în mijlocul segmentului. Axa de-a lungul segmentului, astfel încât direcția să coincidă cu direcția vectorului. Atragem axa perpendiculară pe axa (fig. 12.15).
Teorema 12. 4Pust distanța dintre punctul central și directricea parabolei este egal. Apoi, în selectată sistemul de coordonate parabole are ecuația
Dovada. Coordonatele de focalizare selectate ale parabolei este un punct. și directricea are ecuația (Fig. 12.15).
Să - punctul curent al parabolei. Apoi, cu formula (10.4) pentru cazul planar găsi
Distanța de la punctul de la directricea este lungimea perpendiculară. a scăzut la directoarea punctului. Figura 12.15 evident că. Apoi, prin definirea unei parabole. care este
Ridicăm ambele părți ale ultimei ecuații în pătrat:
După termeni similari obținem ecuația (12.10).
Ecuația (12.10) se numește ecuația canonică a unei parabole.
Propoziția 12. 4Parabola are o axă de simetrie. Dacă parabole canonică definită de ecuația, axa de simetrie coincide cu axa.
Dovada. Este exact la fel ca dovada (Propozitia 12.1).
Punctul de intersecție cu axa de simetrie a parabolei este numit vârful parabolei.
În cazul în care variabilele redesemna. . atunci ecuația (12.10) poate fi scrisă ca
care coincide cu ecuația obișnuită a unei parabole într-un curs de matematica. De aceea, trage un parabole fără studii suplimentare (Fig. 12.16).
Exemplul 12: 6 Construct parabolei. Găsiți focalizarea și directricea ei.
Decizie. Ecuația Canonical este ecuația parabolei. . axă este axa parabolei. nod situat la originea ramurilor parabolei sunt dirijate de-a lungul axei. Pentru construirea vom găsi mai multe puncte ale unei parabole. Pentru a face acest lucru, vom atașa variabilele și găsi valorile. Ia punctele. . . Având în vedere simetrie în jurul axei. desena o curbă (Fig. 12,17)
Fig. 12. .Parabola 17, definită de ecuația
Accentul este pus pe axa la o distanță de la vârf, adică are coordonatele. Directoarea are ecuația. adică.
Parabolă precum elipsa, are proprietăți asociate cu reflexia luminii (Fig. 12,18). Proprietatea va formula din nou fără dovezi.
Proposition 12. 5Pust - focalizarea parabolei, - un punct arbitrar al parabolei, - o rază din punct paralelă cu axa parabolei. Apoi, normal la parabolei în punctul împarte unghiul format de segmentul de linie și linia. jumătate.
Fig. grindă 12. 18 .Reflections lumina unei parabole
Această proprietate înseamnă că fasciculul de lumină a ieșit din focalizarea. reflectată de parabole, apoi executați în paralel cu axa parabolei. In schimb, toate razele care vin de la infinit, și paralel cu axa parabolei, se întâlnesc în centrul atenției sale. Această proprietate este utilizat pe scară largă în domeniu. Proiectoarele dau de obicei o suprafață oglindă care este obținută în timpul rotației unei parabole în jurul axei sale de simetrie (oglindă parabolică). Sursa de lumină în proiectoarele sunt plasate la punctul central al parabolei. Rezultatul dă fasciculul searchlight de fascicule de lumină aproape paralele. Aceeași proprietate este utilizat la recepție de comunicații spațiale antene și telescoape oglinzi care colectează fluxul de raze paralele sau unde radio curg raze de lumină paralele, și se concentrează la punctul central al oglinzii.