Conceptul de ideal

Eul ideal este un subset de elemente ale inelului R, cu următoarele două proprietăți:

1. I este un subgrup al inelului R. grup aditiv

2. Pentru orice element al unui I și orice element al R r și ar ra produs aparțin I.

În inelul numerelor pozitive și negative și set zero multipli de ıntreg, formează un ideal.

Deoarece ideal este un subgrup, pot fi formate claselor pe aceasta. În acest caz, clasele adiacente sunt numite clase de reziduuri. Ideal definește o primă linie cu elementul de expansiune zero, pe stânga. În plus, orice element al inelului care nu aparține idealului, poate fi selectat ca formând prima clasă de resturi, iar restul elementelor sunt construite forme de clasă adaosul fiecărui element de ideal:

Primele elemente sunt în fiecare rând, ca și mai înainte, elementele care nu sunt utilizate în rândurile precedente. Toate proprietățile clase înrudite sunt, de asemenea, valabil și pentru clasele de reziduuri. În special, deoarece funcționarea grupului de adăugare este comutativ, ideal este un divizor normal, și adăugarea de clase pot fi definite ca

unde denota clasa reziduu care conține r. Cu această definiție a claselor de reziduuri formează grupul aditiv (câtul).

Puteți defini, de asemenea, multiplicarea claselor de reziduuri, după cum urmează:

Această definiție este valabilă numai în cazul în care, în mod independent cu privire la alegerea claselor de reziduuri care trebuie multiplicate împreună, acest raport determină, ca produs din aceeași clasă de reziduuri. Sau, cu alte cuvinte, în cazul în care R și R „fac parte din aceeași clasă de reziduuri, RS produs și R trebuie să aparțină aceleiași clase de reziduuri. Această condiție este îndeplinită dacă și numai dacă elementul r's'-RS aparține idealului. poate fi scris

r '- rs = r' - r + r - rs = r '(s utilizator) + (r' - r) s.

Deoarece elementele S'-s și R'-r aparțin ideal, atunci fiecare dintre cei doi termeni în partea dreaptă a acestei ecuații este de asemenea aparține idealului, și deci aparține ideale elementului r's'-rs. Astfel, definiția multiplicării claselor de reziduuri are sens. Pentru clasele asociative mai puțin târg și legi de repartiție:

Ele sunt, de asemenea, doar legea distributiv de multiplicare pe dreapta. Din această teoremă:

TEOREMA 1. Clase de reziduuri modulo ideal într-un inel formează un inel.

Acest inel este denumit reziduu inel.

În inelul tuturor numere întregi considera idealul format de toate numere întregi chiar. Apoi, vor exista două clase de deduceri. În acest caz, aritmetică rest perspectivă inel de clasă modulo aritmetică definește două.

Idealurile și clasele de reziduuri de numere întregi.

În cazul în care r, s și t - numere întregi și RS = t, atunci spunem că t este divizibil cu r sau r împarte numărul t. p≥1 Integer, care este divizibil doar cu ± p și ± 1 este numit simplu. Cel mai mare divizor comun (GCD) a două numere întregi se numește cel mai mare număr pozitiv, care este un divizor de ambele numere. Ei spun că două numere întregi sunt relativ prim. în cazul în care cea mai mare divizor comun este 1.

Pentru orice pereche de numere întregi s și d are o pereche unică de întregi q (câtul) și r (reziduu) și astfel încât:

D divizor comun a două numere întregi r și s pot fi întotdeauna reprezentate ca:

(I.2). unde a și b - întregi.

Să presupunem că numărul de 973 și 301. GCD: d-?

3 x 973 = 301 + 70

301 x 4 = 70 + 21

Deoarece numărul d este un divizor de 973 și 301, ar trebui să fie un divizor și un rest 70. Din moment ce d - 301, și compas 70, acesta este un divizor de 21. Întrucât d - un divizor 70 și 21, se împarte 7. Pe de altă parte, 7 este un divizor de 21, 70, 301 și 973. Prin urmare, d = 7.

7 = 70 - 21 x 3 = 70 - 3 x (301 - 4 x 70) = -3 x 301 + 13 x 70 = -3 x 301 + 13 x (973-3 x 301) x 973 = 13 - 42 x 301.

Teorema 1. Setul de numere întregi formează un ideal dacă și numai dacă este format din toate multipli de unele întregi.

Dovada. Fie R - cel mai mic număr întreg pozitiv, în mod ideal, s - orice alt întreg aparținând idealului. Apoi, GCD a numerelor d aparține idealului, deoarece prin definirea celor doi termeni ideali de pe partea dreaptă a (i.2) fac parte din idealul, și, prin urmare, suma lor este, de asemenea, conținută în idealul. Deoarece r - cel mai mic număr pozitiv, în mod ideal, r≤d. Deoarece r împărțit la d, d≤r. Prin urmare, r = d s și este împărțit în r, adică prin r partaja orice întreg aparținând ideal. În final, orice multiplu de r, aparține definiția ideală a idealului.

Ideal, care constă din toate elementele, unul dintre multiplele elemente ale inelului, numit idealul principal. și un inel în care fiecare cap ideală, numit un domeniu principal ideală.

Ideal, care este format din toate multipli de un număr întreg m pozitiv, notat cu (m). inel de clasa a reziduurilor clase de reziduuri formate modulo ideale (m), este numit un inel de întregi modulo m.

Teorema 2. Fiecare reziduu de clasă modulo m conține 0 sau un număr întreg pozitiv mai mic decât m. Zero este elementul ideal și toate celelalte numere naturale mai mici decât m, aparțin diferitelor clase de reziduuri.

Dovada. În cazul în care s - orice membru al unei clase de reziduuri, AS. r - aparține aceleiași clase și deduceri. Dacă r și s aparțin aceleiași clase de resturi, diferența r-s este un element de ideal, și, prin urmare, un multiplu de m. Dacă r ≠ s, atunci în mod evident, aceste numere nu poate fi mai mică de două și m sunt non-negativ.

Teorema 3. Inelul de reziduu claselor modulo m este un câmp dacă și numai dacă m - prime.

Dovada: Dacă m - nu prim, atunci m = RS pentru unele numere întregi r și s, care nu sunt multipli de m. Prin urmare. iar dacă clasa rest are un invers. atunci. ceea ce contrazice ipoteza. Prin urmare, clasa de reziduuri nu pot avea înapoi și inelul de clasă de reziduuri nu este un câmp.

Rămâne acum să arate că, dacă m - un număr prim, apoi, pentru fiecare clasă de reziduuri, altele decât 0 (ideale), există un invers. Fiecare clasă conține resturile s întregi, este mai mică decât m și nu 0. Deoarece 1 coincide cu inversul elementului se poate presupune că s> 1. Deoarece prin ipoteză m - număr prim, cel mai mare divizor comun al m și s trebuie să fie egal fie m, sau 1, dar m> s, și, prin urmare, s nu este divizibil cu m. De aceea, GCD m și s este 1. În virtutea (i.2) :. Și rezultă că. și anume Clasa de reziduuri este inversul clasei reziduu.

Construit în acest mod se numește un domeniu sau mai multe domenii ale câmpurilor Galois ale elementelor p GF (p).