benzi Möbius

XSH regională de conferințe științifico-practice a studenților

Școala № 41, nota 10

Se spune că pentru a deschide său „benzi Mobius“ a ajutat la servitoarea sshivshaya capătul greșit al benzii.

În banda Möbius este doar o parte, și a lovit profesorii germani, și pentru că fiecare suprafață are două fețe.

Se spune că pentru a deschide său „benzi Mobius“ a ajutat la servitoarea sshivshaya capătul greșit al benzii.

Ceea ce este interesant despre această listă? Iar faptul că banda Möbius - doar o parte. Suntem obișnuiți cu faptul că fiecare suprafață cu care avem de-a face cu (o foaie de hârtie, bicicleta sau camera de volei) - cele două părți.

banda Mobius are proprietăți curioase. Dacă încercați să taie banda în jumătate de-a lungul unei linii echidistant față de marginile în loc de două benzi Mobius obține unul lung două căi (Figura 1) (răsucit de două ori decât banda Möbius) trupa, care magicieni numesc „filmul afgan“. Acum, în cazul în care această bandă tăiat în mijloc, pentru a primi două înfășurată pe unul de altul (figura 2). Alte combinații interesante de panglici pot fi preparate din benzi Mobius cu două sau mai multe jumătăți de spire în aceasta. De exemplu, dacă am tăiat panglica cu trei jumatati de ture, veți obține o panglică, ondulată într-un nod treflat (Figura 3). Vedere în secțiune a unei benzi Mobius, cu viraje suplimentare neașteptate numite figuri oferind inele paradromnymi.

Pentru a face o bandă Mobius trebuie să aibă suficient de benzi de hârtie alungită și conectați capetele benzilor, după activarea unul dintre ei. În timp ce pe suprafața benzii Mobius, ai putea merge pentru ea pentru totdeauna.

Încercați să picteze o parte a benzii Möbius - bucată cu bucată, fără a trece peste marginea benzii. Și ce sa întâmplat? Ai vopsea peste tot banda Mobius! „Dacă cineva încearcă să picteze“ doar o „parte a suprafeței unei benzi Mobius, este mai bine să lăsați totul se scufundă într-o galeata de vopsea“ - „Ce este matematică“, scrisă de Richard Courant și Herbert Robbins în cartea sa excelenta

Surpriza numărul trei: limita de la o bandă Mobius, și nu constă din două părți, ca un inel convențional.

Proprietatea sidedness Möbius benzi a fost utilizată în stadiul tehnicii: dacă cureaua de transmisie prin curea pentru a face o bandă Mobius, suprafața sa se uzeaza de două ori mai lent decât un inel convențional. Acest lucru oferă economii considerabile (Fig. 4).

Möbius benzi unul dintre obiectele din domeniul matematicii numita topologie (cu alte cuvinte „poziție geometrie“). Proprietăți Surprinzatoare Sheet Mobiusa- are o margine, o parte - nu sunt asociate cu poziția sa în spațiu, cu conceptele de la distanță, unghiul și cu toate acestea au un caracter destul de geometric. Studiul acestor proprietăți este angajat în topologia. Se pare că proprietățile de acest tip, în ciuda stranietatea lor aparente, asociate doar cu disciplinele matematice cele mai abstracte, și anume cu algebra și teoria funcțiilor.

În cazul în care interiorul inelului obișnuit al plantelor păianjen, și naruzhnuyu- zburătoare și a le permite să se târască în mod arbitrar interzicerea urca doar peste marginea inelului, atunci păianjenul nu va fi capabil de a ajunge pentru a acoperi, nu-i așa? Și dacă ambele le-a pus pe o bandă Mobius, cei săraci vor fi mâncat o muscă, cu excepția cazului, desigur, păianjenul se taraste mai repede!

În proprietățile de studiu topologie și forme de organisme care nu se modifică în timpul lor deformări continue.

Experimentele pentru toată lumea. Ia banda, se va împărți fiecare parte în trei fâșii egale și lipici, torsiune a fiecărei foi. Vom fi tăiat de-a lungul liniei punctate. În cazul în care banda este răsucită, mai întâi ne-ar tăia un inel și apoi două mai multe altele. Doar trei inele, fiecare lungime ca originalul, dar a doua lățime mai mică. Dar avem o bandă Mobius. Și, păstrând foarfeca de hârtie, taie liniile punctate în mod direct și de a obține două inel stseplonnyh (Fig.5). Una dintre ele este de două ori, atâta timp cât sursa și răsucite de două ori.

În al doilea rând - Möbius benzi, lățimea, care este de trei ori mai mică decât originalul.

foaie Mobiusa- nu este suprafața orientabil (suprafața de orientare admisie) de margine.

Banda de Möbius - este, de asemenea, un spațiu al unui pachet nontrivial peste cercul cu un strat dintr-un segment.

benzi Möbius - set compact bidimensional (adică de suprafață) cu limită. Acesta este un exemplu standard a unei suprafețe care nu este orientabila. Banda de Möbius - este, de asemenea, un exemplu standard utilizat pentru a ilustra conceptul matematic al unui fibrat.

Astfel de obiecte. Închide obiect geometric „ciudat“ este sticla Klein (Figura 6) - (suprafața cu siguranță nu orientat). Klein sticla poate fi obținută prin legarea a două benzi Mobius la margini. Într-un spațiu euclidian tridimensional convențional pentru a face acest lucru fără a crea auto-intersecții, este imposibil.

Arta si tehnologie. bandă Mobius a servit ca sursă de inspirație pentru sculpturi și artă grafică. Escher a fost unul dintre artiștii care au fost deosebit de mândru de ea și dedicate unora dintre litografiile sale că obiectele matematice. One izvestnyh- Mobius benzi arată furnici pe suprafața unei benzi Mobius (Figura 7).

Există aplicații tehnice benzi Mobius. vyponyalas pe banda rulanta benzi de curea ca o bandă Möbius, care ia permis să lucreze mai mult, deoarece întreaga suprafață a benzii purtat în mod egal. De asemenea, în înregistrarea pe un sistem de film continuu utilizat o bandă Möbius (pentru a dubla timpul de înregistrare). Un dispozitiv numit „rezistor Mobiusa- o componentă electronică nou inventat, care nu are de auto-inductanță.

Sarcini. 1) Fiecare doi din cei cinci aleatoriu în planul definit punctele A, B, C, D, E sunt conectate printr-o linie dreaptă. Pătrate care apar în acest cinci triunghiuri eab, ABC, BCD, CDE, DEAzadany; Acesta trebuie să-și exprime, prin domeniul lor de pentagon ABCDE. În loc de cele cinci domenii de triunghiuri pot fi, de asemenea, considerate ca fiind date

Pătrat cinci cuarte: BCDE, CDEA, dEab, EABC, ABCD, - și să caute expresie prin zona lor de pentagon ABCDE (Figura 8).

triunghiuri Pentagon ABCDE EAB a căror suprafață, ABC, BCD, CDE, DEAravny respectiv a, b, c, d, eest rădăcină a unei ecuații pătratice

Nu mai puțin interesant este faptul că zona

pentagon ABCDE, care zona de BCDE patrulater, CDEA, dEab, EABC, ABCD sunt, respectiv,

este rădăcina „aceeași“ ecuație pătratică

Mobius consideră că nu numai poligoane convexe. dar, de asemenea, ia în considerare faptul că ordinea în care următoarele puncte A, B, Ci punctele B, C, D, corespunde unui circuit pe laturile acestor triunghiuri sensul acelor de ceasornic, iar ordinea în care următoarele puncte C, D, crawl E- lungul laturilor triunghiului CDE invers acelor de ceasornic. Mai mult decât atât, Moebius consideră că nu numai poligoanele „normale“, dar și cele în care pot fi traversate părți nu numai la vârfurile poligonului (Fig.9) .si ca un rezultat, poate skazat în cazul în care fiecare două puncte ale oricărui sistem și puncte, dispuse într-un plan o linie dreaptă pentru a conecta și zona dacă presupunem predeterminate (mutual independent) orice 2n-5 poligoane. care rezultă din intersecția acestor linii, că prin ele putem exprima aria fiecăruia dintre celelalte poligoane. "

2) Și aici este o altă problemă - în pentagon ABCDE zona definită p, q, r, s, t ACD triunghi, BDE, CEA, DAB și EBC. Trebuie să le exprime prin zona de pentagon ABCDE. Iată răspunsul:

La începutul lucrării am pus în fața obiectivului este de a explora toate caracteristicile unei benzi Mobius.

Am atins obiectivele sale prin luarea în considerare informațiile complete pe o foaie de Mobius.

1. Enciclopedia „Eu înțeleg lumea“

2. clasa de locuri de muncă extrașcolară 8-9 (A.S.Gromov)

4. populara revista Science "Quantum" 1975god №7, 1977 №7.