Absolut și condiționat serie convergente
Mai multe convergentă nazyvaetsyaabsolyutno. dacă ryadtakzhe converge. Dacă ryadskhoditsya absolut, este convergentă (în sensul obișnuit). Reciproca nu este adevărat.
Mai multe convergentă nazyvaetsyauslovno. dacă el converge și format din module ale membrilor săi divergenta.
Convergența secvențe funcționale și rânduri.
Seria funcțională - serie, dintre care fiecare membru, în contrast cu seria de numere nu este un număr, și funcția.
Să presupunem că o secvență de funcții complexe evaluate pe platourile de filmare incluse în d-dimensional spațiu euclidian.
Secvența funcțională converge punctual la funcția dacă.
Există o funcție astfel încât:
convergența uniformă a secvenței de fapt funktsiizapisyvaetsya:
- suma partiala n-naya.
Un număr numit convergentă pointwise în cazul în care secvența de sume parțiale converge punctual.
Un număr numit convergent uniform dacă secvența sa totală m parțială converge uniform.
Criteriul Cauchy pentru convergență uniformă
Criteriul Cauchy pentru consistență. Faptul că succesiunea funcțiilor definite pe platourile de filmare, converg uniform pe acest set, este necesar și suficient ca pentru numărul vsyakogosuschestvoval, astfel încât pentru orice vsehbolshe ravnyhodnovremenno pentru vsehvypolnyalos inegalitate
Seria de putere. Teorema lui Abel și corolar la acesta. Raza, și convergența integralei.
Seria funcțională (u gdex0 număr predeterminat) se numește o serie de putere. Seria de putere converge la x = x0 întotdeauna. Sarcina - pentru a investiga serii de putere pentru convergență. Cu zamenyt = x -x0 serie putere activă poate duce la vidu- converge la t = 0.
Teorema serie de putere Abelya.Pust converge la un moment dat. Apoi, această serie converge (absolut).
Dovada. Ryadskhoditsya în tochkex1 în posledovatelnostskhoditsya smysleskhoditsyachislovaya de obicei la nulyuogranichena, și anume
Luați în considerare: convergentă, deci seria numerică (pentru fiksirovannogox) converge pe motiv sravneniyaskhoditsya absolut pe platoul de filmare | x | <|x1 |
Seria de putere Sledstvie.Esli diverge tochkex2, atunci seria este divergenta.
Numărul neotrichatelnoe Opredelenie.EsliR- sau are proprietatea că ryadskhoditsya de putere pe platoul de filmare | x |
Teorema.U vsyakgo serie de putere are raza de convergență.
Dovada. Pusta - mulțimea tuturor numerelor întregi ne-negative, în care gradul de ryadskhoditsya.
Deoarece seria converge într-un punct (eventual egal). OboznachimR = SUPA. Pretindem chtoR - raza de convergenta a unei serii de puteri.
Fix pentru a determina exact de sus granimchislotak kakryad converge tochkepo Abel teorema converge pe platoul de filmare | x | Reparăm în | x |> b> R astfel încât. Aceasta este seria de putere divergenta tochkestepennoy seria diverge la x (prin corolarul teoremei lui Abel) diverge pe platoul de filmare | x |> R. SledovatelnoR = SUPA - raza de convergenta a unei serii de puteri. Găsiți raza și intervalul de convergență a unei serii de puteri. Decizie. Noi facem schimbarea: u = x + 3. Apoi, seria ia forma. Calculăm raza de convergență a: Prin urmare, intervalul de convergență este (- ∞; ∞). Se determină raza și intervalele de convergență a seriei de puteri. Decizie. Calculăm raza de convergență a: Luați în considerare convergența la punctele finale. Dacă x = -1, avem serie de divergente. Eslix = 1, atunci seria diverge. În consecință, sursa ryadskhoditsya intervalul deschis (- 1, 1). Găsiți raza și intervalul de convergență a seriei Decizie. Aici. Raza de convergență este egală cu La punctul x = -1 avem o serie de convergentă. Prix = 1 obținem seria armonica divergente. Astfel, un număr predeterminat skhoditsyaskhoditsya pe intervalul întredeschisă [- 1; 1).